1. Найдите производные функций a) f(x) = 2x³ + 5x – 3; б) f(x) = x / sin x

Решение:

а) Найдем производную функции \( f(x) = 2x^3 + 5x - 3 \).

Используем правила дифференцирования:

1. Производная \( 2x^3 \) равна \( 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2 \).
2. Производная \( 5x \) равна \( 5 \cdot 1x^{1-1} = 5 \).
3. Производная константы \( -3 \) равна \( 0 \).

Суммируем производные:

\( f'(x) = 6x^2 + 5 \)

б) Найдем производную функции \( f(x) = \frac{x}{\sin x} \).

Используем правило дифференцирования частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = x \) и \( v = \sin x \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = (x)' = 1 \)
• \( v' = (\sin x)' = \cos x \)

Подставим в формулу:

\[ f'(x) = \frac{1 \cdot \sin x - x \cdot \cos x}{(\sin x)^2} = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x} \]

Ответ: а) \( f'(x) = 6x^2 + 5 \); б) \( f'(x) = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x} \).