1. На рисунке прямая АВ касается в точке С окружности с центром О, причем ∠OBC = ∠OAC. Докажите, что ΔAOC = ΔBOC.

Решение:

• Дано: Прямая АВ касается окружности в точке С, центр окружности – О, ∠OBC = ∠OAC.
• Доказать: ΔAOC = ΔBOC.
• Доказательство:
  1. OC = OC (общая сторона).
  2. OC ⊥ AB, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠ACO = ∠BCO = 90°.
  3. Рассмотрим треугольники ΔAOC и ΔBOC:
  • OC – общая сторона.
  • ∠ACO = ∠BCO = 90°.
  • По условию ∠OBC = ∠OAC.
  4. Таким образом, ΔAOC = ΔBOC по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), так как OC = OC, ∠ACO = ∠BCO и ∠OAC = ∠OBC.

Доказано.