4. На рисунке окружность вписана в треугольник АВС, М, К и Р — точки касания со сторонами. Известно, что ВС = 15, а периметр треугольника равен 50. Найдите длину отрезка АМ.

Решение:

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• Вписанная окружность касается сторон AB, BC, AC в точках P, K, M соответственно.
• \[ BC = 15 \]
• Периметр \[ \triangle ABC \] = 50.

Найти:

• \[ AM \]

Решение:

1. Свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности: отрезки касательных равны.
2. \[ AM = AP \]
3. \[ BM = BP \] (ошибка в условии, точка касания на стороне AB должна быть P, а на BC - K, на AC - M. Предполагаем, что M на AC, K на BC, P на AB)
4. \[ CK = CM \]
5. \[ AK = AP \] (коррекция: \[ BP = BK \] и \[ CP = CK \] если P на AB, K на BC, M на AC)
6. Используем обозначения:
7. Пусть \[ AM = x \]
8. Тогда \[ AP = x \]
9. Пусть \[ BM = y \] (это точка касания на AB, а K на BC, M на AC)
10. Пусть \[ BK = z \]
11. Тогда \[ BP = z \]
12. Пусть \[ CK = w \]
13. Тогда \[ CM = w \]
14. Исходя из условия:
15. \[ AB = AP + PB = x + z \]
16. \[ BC = BK + KC = z + w = 15 \]
17. \[ AC = AM + MC = x + w \]
18. Периметр треугольника:
19. \[ P = AB + BC + AC \]
20. \[ 50 = (x + z) + (z + w) + (x + w) \]
21. \[ 50 = 2x + 2z + 2w \]
22. \[ 50 = 2(x + z + w) \]
23. \[ x + z + w = 25 \]
24. Мы знаем, что \[ z + w = 15 \]
25. Подставляем это значение в уравнение:
26. \[ x + 15 = 25 \]
27. \[ x = 25 - 15 \]
28. \[ x = 10 \]
29. Так как \[ x = AM \], то \[ AM = 10 \]

Ответ: 10