1. Моторная лодка прошла 96 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 10 часов. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде. Запишите решение и ответ.

Краткая запись:

• Расстояние (S): 96 км (туда и обратно)
• Время (t): 10 часов
• Скорость течения реки (v_т): 4 км/ч
• Найти: Скорость лодки в неподвижной воде (v_л) — ?

Пошаговое решение:

1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как x км/ч.
2. Скорость лодки по течению реки: (x + 4) км/ч.
3. Скорость лодки против течения реки: (x - 4) км/ч.
4. Время движения по течению: t_по = 96 / (x + 4) часов.
5. Время движения против течения: t_пр = 96 / (x - 4) часов.
6. Общее время в пути: t_по + t_пр = 10 часов.
7. Составляем уравнение:
   \( \frac{96}{x + 4} + \frac{96}{x - 4} = 10 \)
8. Приведем дроби к общему знаменателю (x + 4)(x - 4) = x² - 16:
   \( \frac{96(x - 4) + 96(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)} = 10 \)
   \( \frac{96x - 384 + 96x + 384}{x^2 - 16} = 10 \)
   \( \frac{192x}{x^2 - 16} = 10 \)
9. Решаем уравнение:
   \( 192x = 10(x^2 - 16) \)
   \( 192x = 10x^2 - 160 \)
   \( 10x^2 - 192x - 160 = 0 \)
10. Разделим все члены уравнения на 2:
    \( 5x^2 - 96x - 80 = 0 \)
11. Найдем дискриминант:
    \( D = b^2 - 4ac = (-96)^2 - 4 · 5 · (-80) = 9216 + 1600 = 10816 \)
12. Найдем значение корня из дискриминанта:
    \( \sqrt{D} = \sqrt{10816} = 104 \)
13. Найдем значения x:
    \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{96 + 104}{2 · 5} = \frac{200}{10} = 20 \)
    \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{96 - 104}{2 · 5} = \frac{-8}{10} = -0.8 \)
14. Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: 20 км/ч