1. Какова наименьшая толщина стеклянной пластинки, если при наблюдении в проходящем свете под углом а = 30° она кажется зеленой? (n = 1,6; λ = 550 нм).

Решение:

Для наблюдения зеленого света в проходящем свете при максимальной интенсивности (светлое пятно) необходимо выполнение условия:

\( 2h = k \lambda \)

где \( h \) — толщина пластинки, \( k \) — целое число.

При наблюдении под углом \( \alpha \) условие для светлого пятна имеет вид:

\( 2nh \cos r = k \lambda \)

где \( n \) — показатель преломления, \( r \) — угол преломления.

Согласно закону Снеллиуса:

\( n \sin \alpha = \sin r \)

Для наименьшей толщины \( h \) и зеленого света \( \lambda = 550 \) нм, нам нужно найти наименьшее целое \( k \), при котором \( h \) будет минимальной.

Для тонкой пластинки, обычно \( r \approx \alpha \) при малых углах, но здесь угол \( \alpha = 30^{\circ} \) не мал. Однако, условие задачи подразумевает условие для максимальной интенсивности, которое для проходящего света без учёта интерференции в тонких плёнках (приближение для пластинки) сводится к максимуму интенсивности.

Для максимума интенсивности в тонкой пластинке в проходящем свете используется условие:

\( 2nh \cos r = k \lambda \)

Если пластинка кажется зеленой, это означает, что максимум для зеленой части спектра наблюдается при определённой толщине.

Для наименьшей толщины (k=1) при наблюдении перпендикулярно пластинке (\( \alpha = 0 \), \( r = 0 \), \( \cos r = 1 \)):

\( 2nh = \lambda \)

\( h = \frac{\lambda}{2n} = \frac{550 \text{ нм}}{2 \cdot 1.6} = \frac{550}{3.2} \text{ нм} = 171.875 \text{ нм} \)

Однако, наблюдение происходит под углом \( \alpha = 30^{\circ} \). Для этого случая нужно учитывать угол преломления \( r \).

\( \cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r} = \sqrt{1 - (\frac{\sin \alpha}{n})^2} \)

\( \cos r = \sqrt{1 - (\frac{\sin 30^{\circ}}{1.6})^2} = \sqrt{1 - (\frac{0.5}{1.6})^2} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3.2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{10.24}} = \sqrt{\frac{9.24}{10.24}} \approx \sqrt{0.9023} \approx 0.9498 \)

Наименьшая толщина соответствует \( k=1 \).

\( 2nh \cos r = 1 \cdot \lambda \)

\( h = \frac{\lambda}{2n \cos r} = \frac{550 \text{ нм}}{2 \cdot 1.6 \cdot 0.9498} = \frac{550}{3.19936} \text{ нм} \approx 171.91 \text{ нм} \)

Если бы речь шла о минимальной толщине для темного пятна, то \( 2nh cos r = (k + 1/2) \lambda \). Но вопрос о зеленом цвете, что подразумевает максимум.

Условие для светлого пятна в проходящем свете для тонких плёнок (где интерференция происходит):

\( 2nh cos r = k \lambda \)

Для наименьшей толщины \( h \), при \( k=1 \) (первый максимум):

\( h = \frac{\lambda}{2n cos r} \)

\( \cos r = \sqrt{1 - (\frac{\sin 30^{\circ}}{1.6})^2} = \sqrt{1 - (\frac{0.5}{1.6})^2} = \sqrt{1 - 0.09765625} = \sqrt{0.90234375} \approx 0.9499 \)

\( h = \frac{550 \text{ нм}}{2 \cdot 1.6 \cdot 0.9499} \approx \frac{550}{3.19968} \text{ нм} \approx 171.9 \text{ нм} \)

Наименьшая толщина соответствует k=0, это почти 0, что дает почти полное пропускание. Но чтобы цвет стал видимым, нужна интерференция. Поэтому первый максимум (k=1) или первый минимум (k=0, если использовать другое условие). В данном случае, если пластинка зеленая, то длина волны 550 нм является максимумом. Наименьшая толщина для видимого максимума (k=1) при проходящем свете:

\( 2nh cos r = k \lambda \)

\( h = \frac{k \lambda}{2n \cos r} \)

При \( k=1 \):

\( h = \frac{1 \cdot 550 \text{ нм}}{2 \cdot 1.6 \cdot 0.9499} \approx 171.9 \text{ нм} \)

Если бы рассматривалась максимальная толщина, тогда k могло бы быть больше.

Проверим условие для минимума: \( 2nh cos r = (k+1/2)\lambda \). При \( k=0 \): \( h = \frac{\lambda}{4n cos r} = \frac{550}{4 \cdot 1.6 \cdot 0.9499} \approx 85.95 \text{ нм} \)

Если имеется в виду наименьшая толщина, то это может быть и \( k=0 \) для минимума, и \( k=1 \) для максимума, в зависимости от того, что имеется в виду под «кажется зеленой». Если это первый видимый цвет, то это часто соответствует первому максимуму. Наименьшая толщина для максимальной интенсивности зеленого света.

\( h = \frac{\lambda}{2n} \) при \( \alpha = 0 \).

\( h = \frac{550 \text{ нм}}{2 \times 1.6} = 171.875 \text{ нм} \)

Учёт угла \( \alpha = 30^{\circ} \) немного увеличивает толщину.

\( h = \frac{550 \text{ нм}}{2 \times 1.6 \times cos(r)} \)

\( \sin r = \frac{\sin 30^{\circ}}{1.6} = \frac{0.5}{1.6} = 0.3125 \)

\( \cos r = \sqrt{1 - 0.3125^2} = \sqrt{1 - 0.09765625} = \sqrt{0.90234375} \approx 0.9499 \)

\( h = \frac{550}{2 \times 1.6 \times 0.9499} \approx \frac{550}{3.19968} \approx 171.9 \text{ нм} \)

Наименьшая толщина соответствует k=1.

Ответ: 171,9 нм.