1. Бросают две игральные кости. Событие А – «на первой кости выпадет нечётное число очков». Событие В – «на второй кости выпадет нечётное число очков». а) Выделите в таблице элементарных событий этого опыта элементарные события, благоприятствующие событиям А и В. б) Опишите словами событие A ∪ B. в) Найдите вероятность события A ∪ B. г) Опишите словами событие A ∩ B. д) Найдите P(A ∩ B).

Решение:

При броске двух игральных костей возможны 36 элементарных исходов (от (1,1) до (6,6)).

Событие А (нечётное число на первой кости): {1, 3, 5}.

Событие В (нечётное число на второй кости): {1, 3, 5}.

а) Элементарные события, благоприятствующие событиям А и В:

Для удобства представим все исходы в виде таблицы:

События, благоприятствующие А (нечётное число на первой кости):

• (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
• (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
• (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

События, благоприятствующие В (нечётное число на второй кости):

• (1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)
• (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)
• (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)

б) Описание события A ∪ B:

Событие A ∪ B означает, что на первой кости выпадет нечётное число очков, ИЛИ на второй кости выпадет нечётное число очков, ИЛИ оба этих события произойдут одновременно.

в) Вероятность события A ∪ B:

Количество исходов, благоприятствующих А, равно 18.

Количество исходов, благоприятствующих В, равно 18.

Количество исходов, благоприятствующих и А, и В (A ∩ B), равно 9 (исходы, где оба числа нечётные: (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)).

По формуле включения-исключения:

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \)

\( P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \)

\( P(A \cap B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \)

\( P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)

г) Описание события A ∩ B:

Событие A ∩ B означает, что на первой кости выпадет нечётное число очков И на второй кости выпадет нечётное число очков.

д) Найдите P(A ∩ B):

Как указано выше, количество исходов, благоприятствующих A ∩ B, равно 9.

Общее число исходов равно 36.

\( P(A \cap B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \)

Ответ: а) Исходы, где первая цифра {1, 3, 5} и вторая цифра {1, 3, 5}; б) На первой или на второй кости (или на обеих) выпало нечётное число очков; в) 3/4; г) На обеих костях выпало нечётное число очков; д) 1/4.