1. (4 балла) Вычислите: 1) 32^(1/5) * 64^(1/3) - 125^(1/3); 2) log₁₂(1/2) + log₁₂(1/72).

Решение:

1. 1) Вычислим значение выражения:

   \( 32^{\frac{1}{5}} \cdot 64^{\frac{1}{3}} - 125^{\frac{1}{3}} \)

   Переведём числа в степени основания:

   \( 32 = 2^5 \), \( 64 = 4^3 = (2^2)^3 = 2^6 \), \( 125 = 5^3 \)

   Подставим в выражение:

   \( (2^5)^{\frac{1}{5}} \cdot (2^6)^{\frac{1}{3}} - (5^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{5 \cdot \frac{1}{5}} \cdot 2^{6 \cdot \frac{1}{3}} - 5^{3 \cdot \frac{1}{3}} \)

   \( = 2^1 \cdot 2^2 - 5^1 = 2 \cdot 4 - 5 = 8 - 5 = 3 \)

   2) Вычислим значение логарифма:

   \( \log_{12} \frac{1}{2} + \log_{12} \frac{1}{72} \)

   Используем свойство логарифма \( \log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y) \):

   \( = \log_{12} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{72} \right) = \log_{12} \frac{1}{144} \)

   Так как \( 144 = 12^2 \), то \( \frac{1}{144} = 12^{-2} \).

   \( = \log_{12} 12^{-2} \)

   Используем свойство логарифма \( \log_a a^x = x \):

   \( = -2 \)

Ответ: 1) 3; 2) -2.