1/2 sin 105° cos 105°

Решение:

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \). Отсюда \( \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) \). В данном случае \( \alpha = 105^{\circ} \).

\( \frac{1}{2} \sin 105^{\circ} \cos 105^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 105^{\circ}) \right) = \frac{1}{4} \sin 210^{\circ} \)

Значение \( \sin 210^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2} \).

\( \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} \).

Ответ: -\(\frac{1}{8}\).