1.1 Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС = 13 см и катетом ВС = 5 см. Отрезок SA = 12 см, — перпендикуляр к плоскости АВС. Найдите угол между прямой SB и плоскостью АВС.

Задание 1.1

Дано:

• Треугольник ABC — прямоугольный.
• Гипотенуза \( AC = 13 \) см.
• Катет \( BC = 5 \) см.
• \( SA \) — перпендикуляр к плоскости ABC.
• \( SA = 12 \) см.

Найти: Угол между прямой SB и плоскостью ABC.

Решение:

1. Найдем катет AB по теореме Пифагора: \( AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \) см.
2. Так как SA перпендикулярно плоскости ABC, то SA перпендикулярно AB. Следовательно, треугольник SAB — прямоугольный.
3. Найдем длину SB по теореме Пифагора: \[ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \] см.
4. Угол между прямой SB и плоскостью ABC — это угол между SB и её проекцией на эту плоскость, то есть углом между SB и AB.
5. В прямоугольном треугольнике SAB: \[ \cos(\angle SBA) = \frac{AB}{SB} = \frac{12}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
6. Следовательно, \( \angle SBA = 45^\circ \).

Ответ: 45°.