09. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. В треугольнике ALC угол LAC равен \( 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ \).

2. В треугольнике ABC угол BAC равен \( 180^\circ - 106^\circ - 68^\circ = 6^\circ \).

3. Так как AL — биссектриса, то угол BAL равен углу LAC, то есть \( 68^\circ \).

4. Угол ABC равен \( 106^\circ \).

5. В треугольнике ABC угол ACB равен \( 180^\circ - 106^\circ - 68^\circ \) — это ошибка, так как \( 68^\circ \) — это \( ∠ LAC \), а нам нужен \( ∠ BAC \).

Верное решение:

1. В треугольнике ALC: \( ∠ CAL = 180^\circ - ∠ ALC - ∠ ACL \). Мы ищем \( ∠ ACB \), обозначим его \( ∠ C \). Тогда \( ∠ CAL = 180^\circ - 112^\circ - ∠ C = 68^\circ - ∠ C \).

2. В треугольнике ABC: \( ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180^\circ \).

3. Поскольку AL — биссектриса, \( ∠ BAC = 2 ∠ LAC \).

4. В треугольнике ALC: \( ∠ LAC = 180^\circ - 112^\circ - ∠ C = 68^\circ - ∠ C \). Это неверно, так как \( ∠ LAC \) - это часть \( ∠ BAC \).

Переформулируем:

1. В треугольнике ALC: \( ∠ LAC = 180^\circ - ∠ ALC - ∠ ACL \). Обозначим \( ∠ ACB \) как \( ∠ C \).

2. \( ∠ ALC = 112^\circ \). Следовательно, \( ∠ ALB = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ \).

3. В треугольнике ALB: \( ∠ BAL = 180^\circ - ∠ ALB - ∠ ABL \). \( ∠ ABL = 106^\circ \).

4. \( ∠ BAL = 180^\circ - 68^\circ - 106^\circ = 6^\circ \).

5. Так как AL — биссектриса, \( ∠ BAC = 2 ∠ BAL = 2 ∠ LAC \). Значит, \( ∠ LAC = 6^\circ \).

6. В треугольнике ALC: \( ∠ C = 180^\circ - ∠ ALC - ∠ LAC = 180^\circ - 112^\circ - 6^\circ = 62^\circ \).

Ответ: 62.