№2. В трапеции ABCD (AB || CD) диагональ BD делит среднюю линию трапеции на отрезки 6 см и 12 см. Найдите основания этой трапеции.

Решение:

Пусть ABCD — данная трапеция, где AB || CD. Пусть MN — средняя линия трапеции, где M лежит на боковой стороне AD, а N — на боковой стороне BC. Диагональ BD пересекает среднюю линию в точке K. По условию, MK = 6 см и KN = 12 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований: MN = (AB + CD) / 2.

Также, средняя линия делится диагональю BD на отрезки MK и KN. Следовательно, MN = MK + KN = 6 + 12 = 18 см.

Рассмотрим треугольник ABD. Отрезок MK является средней линией этого треугольника, так как M — середина AD (по определению средней линии трапеции), а K лежит на BD. Следовательно, MK = AB / 2.

Отсюда AB = 2 × MK = 2 × 6 = 12 см.

Аналогично, рассмотрим треугольник BCD. Отрезок KN является средней линией этого треугольника, так как N — середина BC (по определению средней линии трапеции), а K лежит на BD. Следовательно, KN = CD / 2.

Отсюда CD = 2 × KN = 2 × 12 = 24 см.

Ответ: Основания трапеции равны 12 см и 24 см.