№4. В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и x см. Периметр трапеции равен 60 см. Найдите длину оснований трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, в которую вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону, например AB, на отрезки 8 см и x см. Тогда AB = 8 + x. Так как трапеция равнобокая, то CD = AB = 8 + x.

По свойству описанного четырехугольника (в данном случае трапеции), суммы противоположных сторон равны. То есть, AB + CD = BC + AD.

Значит, 2 * (8 + x) = BC + AD.

Периметр трапеции P = AB + CD + BC + AD = 60 см.

Подставим ранее найденное выражение: 60 = 2 * (8 + x) + BC + AD = 2 * (8 + x) + 2 * (8 + x) = 4 * (8 + x).

60 = 4 * (8 + x)

15 = 8 + x

x = 15 - 8 = 7 см.

Тогда боковая сторона равна AB = 8 + 7 = 15 см.

BC + AD = 2 * (8 + x) = 2 * 15 = 30 см.

Обозначим основания трапеции за a и b. Тогда a + b = 30 см.