№4 В равнобедренном треугольнике ADK с основанием AD провели медиану KE. Через точку E провели прямую, параллельную стороне DK, данная прямая пересекла сторону AK в точке M. Найдите углы треугольника EKM, если известно, что угол DKM равен 54°.

Решение: 1. Так как KE - медиана равнобедренного треугольника ADK, проведенная к основанию AD, то KE является также и высотой и биссектрисой. Следовательно, \(\angle\)AKE = \(\angle\)DKE. \(\angle\)AKE = \(\angle\)DKE = \(\frac{1}{2}\) \(\angle\)AKD. \(\angle\)AKD = 180 - \(\angle\)DAK - \(\angle\)ADK. Треугольник ADK - равнобедренный, \(\angle\)DAK = \(\angle\)ADK = \(\frac{180-54}{2}\) = 63°. \(\angle\)AKE = \(\angle\)DKE = \(\frac{54}{2}\) = 27°. 2. Так как EM || DK, то \(\angle\)KEM = \(\angle\)EKD = 27° (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых EM и DK и секущей EK). 3. В треугольнике EKM \(\angle\)KME = 180 - \(\angle\)MKE - \(\angle\)KEM. Так как EM || DK, то \(\angle\)EMK = \(\angle\)AKD = 54° (как соответственные углы при параллельных прямых EM и DK и секущей AK). \(\angle\)EKM = 180 - 54 - 27 = 99°. \(\angle\)MEK = 27, \(\angle\)EKM = 99, \(\angle\)KME = 54.