№8. Решите логарифмическое уравнение и неравенство (46). a) log2 x - 6 log2 x = -86) log(x - 1) ≥ −2

Решим логарифмические уравнения и неравенства. a) \((\log_2 x)^2 - 6 \log_2 x = -8\) Пусть \(y = \log_2 x\), тогда уравнение: \[y^2 - 6y + 8 = 0\] D = \((-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4\) \[y_1 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[y_2 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2\] Значит, \(\log_2 x = 4\) или \(\log_2 x = 2\). 1) \(\log_2 x = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16\) 2) \(\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4\) б) \[\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \ge -2\] \[x - 1 \le (\frac{1}{3})^{-2}\] \[x - 1 \le 3^2\] \[x - 1 \le 9\] \[x \le 10\] Область определения: \(x - 1 > 0\), значит, \(x > 1\). Тогда решение: \(1 < x \le 10\).

Ответ: a) x = 16 и x = 4, б) 1 < x ≤ 10