№5. По территориям региона приводятся данные за 2001 год. Х руб. 1. 82 2. 79 3. 115 4. 94 5. 105 У руб. 89 90 135 124 144 Составьте линейное уравнение парной регрессии у от х. Найдите линейный коэффициент парной регрессии и среднюю ошибку аппроксимации.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислить средние значения x и y.
2. Вычислить ковариацию между x и y.
3. Вычислить дисперсию x.
4. Вычислить коэффициент регрессии b.
5. Вычислить коэффициент регрессии a.
6. Составить уравнение регрессии.
7. Вычислить коэффициент корреляции r.
8. Вычислить среднюю ошибку аппроксимации.

Определим необходимые параметры:

$$n = 5$$ – количество наблюдений.

Вычислим суммы:

$$\sum x_i = 82 + 79 + 115 + 94 + 105 = 475$$

$$\sum y_i = 89 + 90 + 135 + 124 + 144 = 582$$

$$\sum x_i^2 = 82^2 + 79^2 + 115^2 + 94^2 + 105^2 = 46131$$

$$\sum y_i^2 = 89^2 + 90^2 + 135^2 + 124^2 + 144^2 = 70398$$

$$\sum x_i y_i = 82 \cdot 89 + 79 \cdot 90 + 115 \cdot 135 + 94 \cdot 124 + 105 \cdot 144 = 56993$$

Вычислим средние значения:

$$\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{475}{5} = 95$$

$$\overline{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{582}{5} = 116.4$$

Вычислим коэффициент регрессии b:

$$b = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} = \frac{5 \cdot 56993 - 475 \cdot 582}{5 \cdot 46131 - 475^2} = \frac{284965 - 276450}{230655 - 225625} = \frac{8515}{5030} \approx 1.6928$$

Вычислим коэффициент регрессии a:

$$a = \overline{y} - b \overline{x} = 116.4 - 1.6928 \cdot 95 = 116.4 - 160.816 \approx -44.416$$

Уравнение регрессии имеет вид:

$$y = a + bx = -44.416 + 1.6928x$$

Найдем коэффициент корреляции:

$$r = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{\sqrt{[n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][n \sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]}} = \frac{5 \cdot 56993 - 475 \cdot 582}{\sqrt{[5 \cdot 46131 - 475^2][5 \cdot 70398 - 582^2]}} = \frac{8515}{\sqrt{5030 \cdot 1926}} \approx \frac{8515}{\sqrt{9687780}} \approx \frac{8515}{3112.52} \approx 0.998$$

Рассчитаем значения $$y_i$$ по уравнению регрессии:

$$y_1 = -44.416 + 1.6928*82 = 94.3936$$

$$y_2 = -44.416 + 1.6928*79 = 89.3152$$

$$y_3 = -44.416 + 1.6928*115 = 150.256$$

$$y_4 = -44.416 + 1.6928*94 = 114.7072$$

$$y_5 = -44.416 + 1.6928*105 = 133.324$$

Теперь вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

$$A = \frac{1}{n} \sum \frac{|y_i - \hat{y_i}|}{y_i} \cdot 100\% = \frac{1}{5} (\frac{|89 - 94.3936|}{89} + \frac{|90 - 89.3152|}{90} + \frac{|135 - 150.256|}{135} + \frac{|124 - 114.7072|}{124} + \frac{|144 - 133.324|}{144}) \cdot 100\% \approx 6.712$$

Ответ: уравнение регрессии: $$y = -44.416 + 1.6928x$$, коэффициент корреляции 0.998, средняя ошибка аппроксимации 6.712%