№7.* Площадь треугольника АВС равна 80 см. Медиана СК пересекает биссектрису ВН в точке О. Биссектриса ВН делит сторону АС в отношении 2 к 3, считая от вершины А. Найдите площадь четырехугольника АКОН

Пусть AK = 2x, KC = 3x. Тогда AC = 5x.

Площадь треугольника ABC равна 80 см².

Так как СК - медиана, то площадь треугольника ACK равна половине площади треугольника ABC, то есть 40 см².

Площади треугольников ABH и CBH относятся как AK к KC, то есть 2 к 3.

Отношение площадей треугольников ACK и BCK равно отношению длин отрезков AK и KC, то есть 2x/3x = 2/3.

Рассмотрим треугольник ABK. Биссектриса BH делит сторону AK в отношении AO/OK = AB/BK

Площадь треугольника ABK = 2/5 * S_ABC = 2/5 * 80 = 32

Площадь AOH = 2/5 S_ABH

Пусть площадь треугольника ABH = y, тогда площадь треугольника CBH = 80 - y. Поскольку AK/KC = 2/3, то y/(80-y) = 2/3. Отсюда 3y = 160 - 2y, 5y = 160, y = 32.

Площадь ABH = 32. Биссектриса ВН делит АС в отношении АН/НС. Тогда площадь АВН = 32

S(AKOH) = S(ABH) * (AK/AC) = 32 * 2/5 = 12.8

Ответ: 12.8