№ 10 Ввод числа 1 балл Р Найти f'(0), если f(z) = eᶻ ⋅ sinz.

Дано: $$f(z) = e^z \cdot \sin{z}$$. Найти $$f'(0)$$.

Используем правило произведения для нахождения производной функции $$f(z) = e^z \cdot \sin{z}$$: $$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$$.

Здесь $$u(z) = e^z$$ и $$v(z) = \sin{z}$$.

Производная $$u(z) = e^z$$ равна $$u'(z) = e^z$$.

Производная $$v(z) = \sin{z}$$ равна $$v'(z) = \cos{z}$$.

Теперь подставим в формулу производной произведения:

$$f'(z) = e^z \cdot \sin{z} + e^z \cdot \cos{z}$$

$$f'(z) = e^z (\sin{z} + \cos{z})$$

Чтобы найти $$f'(0)$$, подставим $$z = 0$$ в выражение для $$f'(z)$$:

$$f'(0) = e^0 (\sin{0} + \cos{0})$$

$$f'(0) = 1 \cdot (0 + 1)$$

$$f'(0) = 1$$

Ответ: 1