№ 11 Одиночный выбор 1 балл Р Найти f'(1), если f(x) = 2ˣ ⋅ log₂x.

Для нахождения производной функции $$f(x) = 2^x \cdot \log_2{x}$$ используем правило произведения: $$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$$.

Здесь $$u(x) = 2^x$$ и $$v(x) = \log_2{x}$$.

Производная $$u(x) = 2^x$$ равна $$u'(x) = 2^x \cdot \ln{2}$$.

Производная $$v(x) = \log_2{x}$$ равна $$v'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln{2}}$$.

Теперь подставим в формулу производной произведения:

$$f'(x) = (2^x \cdot \ln{2}) \cdot \log_2{x} + 2^x \cdot \frac{1}{x \cdot \ln{2}}$$

$$f'(x) = 2^x \cdot \ln{2} \cdot \log_2{x} + \frac{2^x}{x \cdot \ln{2}}$$.

Подставим x = 1 в формулу производной:

$$f'(1) = 2^1 \cdot \ln{2} \cdot \log_2{1} + \frac{2^1}{1 \cdot \ln{2}}$$

$$f'(1) = 2 \cdot \ln{2} \cdot 0 + \frac{2}{\ln{2}}$$

$$f'(1) = 0 + \frac{2}{\ln{2}}$$

$$f'(1) = \frac{2}{\ln{2}}$$.

Ответ: $$\frac{2}{\ln{2}}$$