№ 5. В треугольнике MNF известно, что ∠N=90°, ZM=60°, отрезок AD- биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD=20 см.

Ответ: MN = 10 см

• В \(\triangle MNF\) \(\angle F = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\)
• Т.к. AD - биссектриса, \(\angle MFD = \frac{1}{2} \angle F = 15^{\circ}\)
• Рассмотрим \(\triangle FND\): \(\angle FND = 90^{\circ}\), \(\angle NFD = 15^{\circ}\), значит \(\angle FDN = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}\)
• По условию \(FD = 20\) см.
• В \(\triangle MNF\) катет MN лежит против угла в 30°, значит он равен половине гипотенузы.
• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит \(MN = \frac{1}{2} MF\).
• MF - гипотенуза \(\triangle MNF\), а FD - гипотенуза \(\triangle FND\).
• \(\angle DNF = 90^{\circ}\), тогда \(\triangle DNF\) - прямоугольный.
• \(\angle DFN = 15^{\circ}\)
• Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
• Т.к. \(\angle FDN = 75^{\circ}\)
• Т.к. \(\angle DFN = 15^{\circ}\)
• \(\frac{MN}{MF} = \frac{1}{2}\)

Ответ: MN = 10 см