Решение:

a) Определим проекции векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) на оси Ox и Oy:

• \(\overrightarrow{a}\): Проекция на ось Ox: \(a_x = 6 - 3 = 3\); Проекция на ось Oy: \(a_y = 8 - 6 = 2\)
• \(\overrightarrow{b}\): Проекция на ось Ox: \(b_x = 12 - 6 = 6\); Проекция на ось Oy: \(b_y = 0 - 8 = -8\)

б) Докажем, что проекция вектора суммы на координатную ось равна алгебраической сумме проекций складываемых векторов на ту же ось:

• Вектор \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\).
• Проекция \(\overrightarrow{c}\) на ось Ox: \(c_x = a_x + b_x = 3 + 6 = 9\).
• Проекция \(\overrightarrow{c}\) на ось Oy: \(c_y = a_y + b_y = 2 + (-8) = -6\).
• Найдем координаты точки A: \((3; 6)\), координаты точки C: \((12; 0)\).
• Проекция \(\overrightarrow{AC}\) на ось Ox: \(12 - 3 = 9\), на ось Oy: \(0 - 6 = -6\).
• Таким образом, проекции вектора суммы равны сумме проекций складываемых векторов.

в) Вычислим модуль вектора \(\overrightarrow{c}\):

\(|\overrightarrow{c}| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2} = \sqrt{9^2 + (-6)^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \approx 10.82\)

г) Вычислим угол \(\theta\), образованный вектором \(\overrightarrow{c}\) и осью Ox:

\(\tan(\theta) = \frac{c_y}{c_x} = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3}\)

\(\theta = \arctan(-\frac{2}{3}) \approx -33.69^\circ\)

Угол равен примерно -33.69°. Отрицательный угол означает, что вектор направлен ниже оси Ox.

Ответ:

• Проекции векторов: \(a_x = 3, a_y = 2, b_x = 6, b_y = -8\)
• Модуль вектора \(\overrightarrow{c}\): \(|\overrightarrow{c}| = 3\sqrt{13} \approx 10.82\)
• Угол между вектором \(\overrightarrow{c}\) и осью Ox: \(\theta \approx -33.69^\circ\)