✓ 13 Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Доказательство:

1. Пусть прямые a и b параллельны (a || b), а c – секущая.
2. Обозначим накрест лежащие углы как ∠1 и ∠2.
3. Рассмотрим угол ∠3, который является соответственным углом для ∠1 при параллельных прямых a и b и секущей c.
4. По свойству соответственных углов, ∠1 = ∠3.
5. Угол ∠2 является смежным углом с ∠3.
6. Сумма смежных углов равна 180°, следовательно, ∠2 + ∠3 = 180°.
7. Выразим ∠3 через ∠2: ∠3 = 180° - ∠2.
8. Так как ∠1 = ∠3, можем записать: ∠1 = 180° - ∠2.
9. Выразим ∠2: ∠2 = 180° - ∠1.
10. Теперь рассмотрим угол ∠4, который является смежным углом для ∠1.
11. ∠1 + ∠4 = 180°, следовательно, ∠4 = 180° - ∠1.
12. Сравнивая выражения для ∠2 и ∠4, видим, что ∠2 = ∠4.
13. Поскольку ∠4 и ∠1 – соответственные углы, а ∠2 = ∠4, то ∠1 = ∠2.

Что и требовалось доказать: накрест лежащие углы равны.

Проверка за 10 секунд: При параллельных прямых накрест лежащие углы всегда равны.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Это доказательство можно упростить, если сразу заметить, что ∠2 и ∠3 - вертикальные.