15.2 ★☆☆ Точки К и E — середины сторон квадрата ABCD. Докажите, что отрезки СК и DE перпендикулярны друг другу (рис. 15.7).

Рассмотрим квадрат ABCD, где точки K и E являются серединами сторон AD и AB соответственно. Требуется доказать, что отрезки CK и DE перпендикулярны.

1. Пусть сторона квадрата равна a. Тогда AK = KD = AE = EB = a/2.

2. Рассмотрим треугольники DAE и CDK. У них DA = CD = a, AE = DK = a/2, и углы DAE и CDK прямые (90 градусов), так как ABCD — квадрат.

3. Следовательно, треугольники DAE и CDK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

4. Из равенства треугольников следует, что углы DEA и DCK равны. Обозначим этот угол как α.

5. Также из равенства треугольников следует, что углы ADE и KCD равны. Обозначим этот угол как β.

6. Рассмотрим угол между DE и CK. Он равен углу между DE и DC плюс угол DCK. То есть угол между DE и CK равен углу EDC + углу DCK = (90 - α) + α = 90 градусов.

Таким образом, отрезки CK и DE перпендикулярны друг другу.

Ответ: Отрезки СК и DE перпендикулярны друг другу.