12.31. ∫ dx/√x+√[4]x

12.31. Для решения интеграла ∫ dx / (√x + √[4]x) сделаем замену t = √[4]x, тогда x = t^4 и dx = 4t^3 dt.

∫ (4t^3 dt) / (t^2 + t) = 4 ∫ t^2 / (t + 1) dt

Разделим t^2 на t + 1:

t^2 = (t + 1)(t - 1) + 1

Тогда t^2 / (t + 1) = t - 1 + 1 / (t + 1)

4 ∫ (t - 1 + 1 / (t + 1)) dt = 4 ∫ t dt - 4 ∫ dt + 4 ∫ dt / (t + 1) = 4 * (t^2 / 2) - 4t + 4 ln|t + 1| + C = 2t^2 - 4t + 4 ln|t + 1| + C

Возвращаемся к переменной x: t = √[4]x

2(√[4]x)^2 - 4√[4]x + 4 ln|√[4]x + 1| + C = 2√x - 4√[4]x + 4 ln|√[4]x + 1| + C

Ответ: 2√x - 4√[4]x + 4 ln|√[4]x + 1| + C