12.33. ∫ dx/√(x²+9)

12.33. Для решения интеграла ∫ dx / √(x^2 + 9) можно воспользоваться заменой x = 3 * sinh(t), где sinh(t) - гиперболический синус. Тогда dx = 3 * cosh(t) dt, где cosh(t) - гиперболический косинус.

√(x^2 + 9) = √(9 * sinh^2(t) + 9) = 3√(sinh^2(t) + 1) = 3 * cosh(t), так как cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1.

Тогда интеграл равен:

∫ (3 * cosh(t) dt) / (3 * cosh(t)) = ∫ dt = t + C

Выразим t через x. Из x = 3 * sinh(t) следует sinh(t) = x/3. t = arsinh(x/3), где arsinh - обратный гиперболический синус.

Таким образом, интеграл равен arsinh(x/3) + C. Так как arsinh(x) = ln(x + √(x^2 + 1)), то arsinh(x/3) = ln(x/3 + √((x/3)^2 + 1)) = ln((x + √(x^2 + 9)) / 3) = ln(x + √(x^2 + 9)) - ln(3).

Так как -ln(3) можно включить в константу C, то ответ будет ln(x + √(x^2 + 9)) + C.

Ответ: ln|x + √(x^2 + 9)| + C