25ˣ < 6 · 5ˣ - 5

Для решения показательного неравенства 25ˣ < 6 · 5ˣ - 5 выполним следующие действия:

1. Сделаем замену переменной: пусть y = 5ˣ, тогда y² = (5ˣ)² = 25ˣ.
2. Запишем неравенство через новую переменную: y² < 6y - 5.
3. Перенесём все члены неравенства в левую часть: y² - 6y + 5 < 0.
4. Решим квадратное неравенство. Сначала найдём корни квадратного уравнения y² - 6y + 5 = 0.
   1. Используем теорему Виета: y₁ + y₂ = 6, y₁ · y₂ = 5.
   2. Подберём корни: y₁ = 1, y₂ = 5.
5. Разложим квадратный трёхчлен на множители: (y - 1)(y - 5) < 0.
6. Определим знаки неравенства на числовой прямой.

   + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
                                                         ------------------------------------------------------------------------
                                                                                         *
                                                                                        1
                                                         ------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                               *
                                                                                                                                                                                                                              5
                                                         ------------------------------------------------------------------------
   + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
     

7. Получаем решение для y: 1 < y < 5.
8. Вернёмся к исходной переменной: 1 < 5ˣ < 5.
9. Решим двойное неравенство:
   1. 5⁰ < 5ˣ < 5¹.
   2. 0 < x < 1.

Ответ: x ∈ (0; 1)