374*. (3\sqrt{\frac{5}{6}}+3\sqrt{\frac{3}{10}}-4\sqrt{\frac{5}{4}})\cdot \sqrt{\frac{5}{6}}.

Для упрощения выражения $$(3\sqrt{\frac{5}{6}}+3\sqrt{\frac{3}{10}}-4\sqrt{\frac{5}{4}})\cdot \sqrt{\frac{5}{6}}$$ сначала упростим каждый член внутри скобок:

$$3\sqrt{\frac{5}{6}}\cdot \sqrt{\frac{5}{6}} = 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$$

$$3\sqrt{\frac{3}{10}}\cdot \sqrt{\frac{5}{6}} = 3\sqrt{\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{6}} = 3\sqrt{\frac{15}{60}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

$$4\sqrt{\frac{5}{4}}\cdot \sqrt{\frac{5}{6}} = 4\sqrt{\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{6}} = 4\sqrt{\frac{25}{24}} = 4\cdot \frac{5}{\sqrt{24}} = \frac{20}{\sqrt{4 \cdot 6}} = \frac{20}{2\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{10\sqrt{6}}{6} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$$

Теперь сложим полученные результаты:

$$\frac{5}{2} + \frac{3}{2} - \frac{5\sqrt{6}}{3} = \frac{8}{2} - \frac{5\sqrt{6}}{3} = 4 - \frac{5\sqrt{6}}{3}$$

Ответ: $$4 - \frac{5\sqrt{6}}{3}$$