20.6. Знайдіть похідну функції: 1) y = 3x+5 ; x-8 3) y = 2x² ; 1-6x 5) y = x²-1 ; x² + 1 2) y = 7 ; 10x-3 4) y = sin x ; x ✓6) y = x² + 6x x+2 •

1) Дано: y = \(\frac{3x+5}{x-8}\)

Применяем правило производной частного: \(y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), где \(u = 3x + 5\) и \(v = x - 8\).

Тогда \(u' = 3\) и \(v' = 1\).

\[ y' = \frac{3(x-8) - (3x+5)(1)}{(x-8)^2} \]

\[ y' = \frac{3x - 24 - 3x - 5}{(x-8)^2} \]

\[ y' = \frac{-29}{(x-8)^2} \]

Ответ: \(y' = \frac{-29}{(x-8)^2}\)

2) Дано: y = \(\frac{7}{10x-3}\)

Применяем правило производной частного: \(y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), где \(u = 7\) и \(v = 10x - 3\).

Тогда \(u' = 0\) и \(v' = 10\).

\[ y' = \frac{0(10x-3) - 7(10)}{(10x-3)^2} \]

\[ y' = \frac{-70}{(10x-3)^2} \]

Ответ: \(y' = \frac{-70}{(10x-3)^2}\)

3) Дано: y = \(\frac{2x^2}{1-6x}\)

Применяем правило производной частного: \(y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), где \(u = 2x^2\) и \(v = 1 - 6x\).

Тогда \(u' = 4x\) и \(v' = -6\).

\[ y' = \frac{4x(1-6x) - 2x^2(-6)}{(1-6x)^2} \]

\[ y' = \frac{4x - 24x^2 + 12x^2}{(1-6x)^2} \]

\[ y' = \frac{4x - 12x^2}{(1-6x)^2} \]

Ответ: \(y' = \frac{4x - 12x^2}{(1-6x)^2}\)

4) Дано: y = \(\frac{\sin x}{x}\)

Применяем правило производной частного: \(y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), где \(u = \sin x\) и \(v = x\).

Тогда \(u' = \cos x\) и \(v' = 1\).

\[ y' = \frac{\cos x * x - \sin x * 1}{x^2} \]

\[ y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} \]

Ответ: \(y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}\)

5) Дано: y = \(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\)

Применяем правило производной частного: \(y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), где \(u = x^2 - 1\) и \(v = x^2 + 1\).

Тогда \(u' = 2x\) и \(v' = 2x\).

\[ y' = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \]

\[ y' = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} \]

\[ y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \]

Ответ: \(y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}\)

6) Дано: y = \(\frac{x^2 + 6x}{x+2}\)

Применяем правило производной частного: \(y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), где \(u = x^2 + 6x\) и \(v = x + 2\).

Тогда \(u' = 2x + 6\) и \(v' = 1\).

\[ y' = \frac{(2x+6)(x+2) - (x^2+6x)(1)}{(x+2)^2} \]

\[ y' = \frac{2x^2 + 4x + 6x + 12 - x^2 - 6x}{(x+2)^2} \]

\[ y' = \frac{x^2 + 4x + 12}{(x+2)^2} \]

Ответ: \(y' = \frac{x^2 + 4x + 12}{(x+2)^2}\)