Знайдіть найменший додатний корінь рівняння $$2 extrm{sin } x = -1$$ (Вкажіть одну відповідь)

Розв'язок:

1. Знаходимо значення $$ extrm{sin } x$$:

   Розділимо обидві частини рівняння на 2:

   \[ \textrm{sin } x = -\frac{1}{2} \]

2. Знаходимо кути, для яких синус дорівнює $$-1/2$$:

   На одиничному колі синус дорівнює -1/2 для кутів у III та IV чвертях.

   • У III чверті: $$x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi + \pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$
   • У IV чверті: $$x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi - \pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$$

   Загальний розв'язок рівняння: $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$$, де $$n \in \mathbb{Z}$$.

   Якщо $$n=1$$, то $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$$ (це у II чверті, де синус додатний, тому це не є розв'язком для $$-1/2$$);

   Якщо $$n=2$$, то $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$;

   Якщо $$n=0$$, то $$x = \frac{\pi}{6}$$;

   Якщо $$n=-1$$, то $$x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6}$$;

   Щоб знайти найменший додатний корінь, розглянемо можливі значення $$n$$:

   • При $$n=0$$: $$x = (-1)^0 \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$ (синус цього кута додатний)
   • При $$n=1$$: $$x = (-1)^1 \frac{\pi}{6} + \pi = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$$ (синус цього кута додатний)
   • При $$n=2$$: $$x = (-1)^2 \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$
   • Розглянемо розв'язки з іншої форми запису: $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$$ або $$x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$$, де $$k \in \mathbb{Z}$$.
   • Найменший додатний корінь буде з першої множини, при $$k=0$$: $$x = \frac{7\pi}{6}$$.
3. Вибираємо найменший додатний корінь:

   Серед знайдених додатних коренів ($$rac{7\pi}{6}$$, $$rac{11\pi}{6}$$, $$rac{13\pi}{6}$$, ...) найменшим є $$rac{7\pi}{6}$$.

Правильний варіант: $$\frac{7\pi}{6}$$