Знайдіть ∠MCA.

1. Оскільки BM = MC і AM = MB, то трикутник ABC є рівнобедреним з основою AC. Отже, ∠BAC = ∠BCA.

2. У трикутнику ABM, AM = MB, тому він рівнобедрений. ∠BAM = ∠ABM.

3. У трикутнику BMC, BM = MC, тому він рівнобедрений. ∠MBC = ∠MCB.

4. ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC. Оскільки ∠BAM = ∠ABM і ∠MBC = ∠MCB, то ∠ABC = ∠BAM + ∠MCB.

5. У трикутнику ABC, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Замінюючи, отримуємо ∠BAM + (∠BAM + ∠MCB) + ∠MCB = 180°.

6. Також, ∠BCA = ∠MCA + ∠MCB.

7. З умови задачі, ∠BMC = 70°. У трикутнику BMC, ∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = 180°. 70° + 2∠MCB = 180°. 2∠MCB = 110°. ∠MCB = 55°.

8. Оскільки ∠BCA = ∠MCB, то ∠BCA = 55°.

9. У трикутнику ABC, ∠BAC = ∠BCA = 55°.

10. ∠ABC = 180° - 55° - 55° = 70°.

11. ∠ABM = ∠MBC = ∠ABC / 2 = 70° / 2 = 35°.

12. У трикутнику ABM, ∠BAM = ∠ABM = 35°.

13. ∠MCA = ∠BCA - ∠MCB = 55° - 55° = 0°. Це суперечить малюнку.

Переглянемо умову. На малюнку позначено, що AM = MB і BM = MC. Це означає, що M є серединою AC.

1. Оскільки AM = MB = MC, то точка M є центром описаного кола трикутника ABC, а AC є діаметром. Отже, трикутник ABC є прямокутним з прямим кутом при вершині B. ∠ABC = 90°.

2. У трикутнику BMC, BM = MC, тому він рівнобедрений. ∠MBC = ∠MCB.

3. У трикутнику ABM, AM = MB, тому він рівнобедрений. ∠BAM = ∠ABM.

4. ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = 90°.

5. Оскільки ∠BAM = ∠ABM і ∠MBC = ∠MCB, то ∠BAM + ∠MCB = 90°.

6. Також, ∠BAC = ∠BAM і ∠BCA = ∠MCB. Отже, ∠BAC + ∠BCA = 90°. Це підтверджує, що трикутник прямокутний.

7. У трикутнику BMC, ∠BMC = 70°. Оскільки він рівнобедрений, 2∠MCB + 70° = 180°. 2∠MCB = 110°. ∠MCB = 55°.

8. Отже, ∠MCA = ∠MCB = 55°.