Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю 5, то она увеличится на \(\frac{1}{2}\). Найдите эту дробь.

Краткая запись:

• Дробь: \(\frac{x}{y}\)
• Условие 1: \(y = x+3\)
• Условие 2: \(\frac{x+7}{y+5} = \frac{x}{y} + \frac{1}{2}\)
• Найти: Дробь \(\frac{x}{y}\)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Составляем первое уравнение из условия \(y = x+3\).
2. Шаг 2: Подставляем \(y = x+3\) во второе уравнение:
   \( \frac{x+7}{(x+3)+5} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{2} \)
   \( \frac{x+7}{x+8} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{2} \)
3. Шаг 3: Приводим правую часть к общему знаменателю.
   \( \frac{x+7}{x+8} = \frac{2x + (x+3)}{2(x+3)} \)
   \( \frac{x+7}{x+8} = \frac{3x+3}{2x+6} \)
4. Шаг 4: Решаем пропорцию, перемножая крест-накрест.
   \( (x+7)(2x+6) = (3x+3)(x+8) \)
5. Шаг 5: Раскрываем скобки.
   \( 2x^2 + 6x + 14x + 42 = 3x^2 + 24x + 3x + 24 \)
   \( 2x^2 + 20x + 42 = 3x^2 + 27x + 24 \)
6. Шаг 6: Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение.
   \( 3x^2 - 2x^2 + 27x - 20x + 24 - 42 = 0 \)
   \( x^2 + 7x - 18 = 0 \)
7. Шаг 7: Решаем квадратное уравнение. Находим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-18) = 49 + 72 = 121 \).
   Находим корни: \( x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
   \( x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \)
8. Шаг 8: Проверяем оба корня.
   Если \( x=2 \), то \( y=2+3=5 \). Дробь \(\frac{2}{5}\).
   \(\frac{2+7}{5+5} = \frac{9}{10}\). \(\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4+5}{10} = \frac{9}{10}\). Подходит.
   Если \( x=-9 \), то \( y=-9+3=-6 \). Дробь \(\frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}\).
   \(\frac{-9+7}{-6+5} = \frac{-2}{-1} = 2\). \(\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Подходит.
9. Шаг 9: Так как в условии не сказано, что дробь должна быть положительной, оба ответа подходят. Однако, в обыкновенных дробях обычно подразумеваются положительные числа, поэтому чаще всего ответ будет \(\frac{2}{5}\).

Ответ: \(\frac{2}{5}\) или \(\frac{3}{2}\)