Значение арифметического выражения 5¹¹⁹ + 5¹¹⁸, где x — целое положительное число, не превышающее 2010, записать в 5-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором количество нулей в записи арифметического выражения максимально. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Решение:

Для того чтобы количество нулей в 5-ричной системе счисления было максимальным, нужно иметь степень числа 5, которая оканчивается на как можно большее количество нулей. В 5-ричной системе счисления число вида \( 5^n \) записывается как 1 с \( n \) нулями. Например, \( 5^3 = 125_{10} = 1000_5 \).

Рассмотрим выражение \( 5^{119} + 5^{118} \).

Вынесем общий множитель \( 5^{118} \):

\[ 5^{119} + 5^{118} = 5^{118} \cdot (5^1 + 1) = 5^{118} \cdot 6 \]

Теперь нам нужно представить число \( 6 \) в 5-ричной системе счисления: \( 6_{10} = 11_5 \).

Таким образом, выражение в 5-ричной системе будет выглядеть как:

\[ 5^{118} \cdot 6_{10} = 5^{118} \cdot 11_5 \]

Умножение на \( 11_5 \) в 5-ричной системе означает:

\[ 11_5 \cdot 5^{118} = (1 )_5 \cdot 5^{118} \]

Где \( 1 _5 \) — это \( 1 \) в позиции \( 5^2 \), \( 0 \) в позиции \( 5^1 \) и \( 1 \) в позиции \( 5^0 \). Но это неверно.

Правильно, \( 11_5 = 1 _5 + 1_5 = 5^1 + 1 = 6_{10} \).

Умножение \( 5^{118} \) на \( 11_5 \) в 5-ричной системе:

\[ \underbrace{100...0}_{118 \text{ нулей}} _5 \times 11_5 = \underbrace{1100...0}_{118 \text{ нулей}} _5 \]

Чтобы количество нулей было максимальным, нам нужно, чтобы множитель \( 6 \) (или \( 11_5 \)) имел как можно больше нулей после единиц. В нашем случае, \( 6_{10} = 11_5 \) уже имеет два нуля, если бы мы умножали на \( 100_5 \) (что равно \( 25_{10} \)).

Поскольку \( x \) — это показатель степени числа 5, чтобы максимизировать количество нулей, мы должны выбрать максимально возможное значение \( x \). Максимальное значение \( x \), не превышающее 2010, — это \( x = 2010 \).

Таким образом, наибольшее значение \( x \), при котором количество нулей максимально (и не превышает 2010), равно \( x = 2010 \).

Когда \( x = 2010 \), выражение равно \( 5^{2010} 6 \). В 5-ричной системе счисления это будет \( 11_5 \) умноженное на \( 1 \) с \( 2010 \) нулями, что даст \( 11 \) с \( 2010 \) нулями. Количество нулей будет \( 2010 \).

В ответе нужно записать число \( x \) в десятичной системе счисления.

Ответ: 2010