Женя хочет покрасить все ногти на руках в розовый и голубой цвета. При этом она хочет покрасить не более 6 ногтей в розовый и не более 5 ногтей в голубой (руки могут быть окрашены по-разному). Сколько у неё способов покрасить ногти?

Всего у Жени 10 ногтей. Пусть розовыми будут окрашены \(k\) ногтей, тогда голубыми — \(10-k\).

По условию:

\(k\leq 6\), \(10-k\leq 5\).

Из второго неравенства получаем \(k\geq 5\). Значит, розовыми могут быть окрашены 5 или 6 ногтей.

1. 5 розовых и 5 голубых: \(C_{10}^{5}=252\) способа;
2. 6 розовых и 4 голубых: \(C_{10}^{6}=210\) способов.

Складываем количество способов:

\(252+210=462\).

Ответ: 462 способа.