5.Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб.) задаётся формулой q=50-5р. Выручка предприятия за месяц г (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q·р. Определите наибольшую цену р, при которой месячная выручка г(р) составит не менее 105 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Решение:

1. Дано:
   • \(q = 50 - 5p\)
   • \(r(p) = q \cdot p\)
   • \(r(p) \ge 105\)
2. Подставим выражение для q в формулу для r(p): $$ r(p) = (50 - 5p) \cdot p = 50p - 5p^2 $$
3. Решим неравенство: $$ 50p - 5p^2 \ge 105 $$ $$ -5p^2 + 50p - 105 \ge 0 $$ $$ p^2 - 10p + 21 \le 0 $$
4. Найдем корни квадратного уравнения: $$ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 $$ $$ p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 4}{2} $$ $$ p_1 = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7 $$ $$ p_2 = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$
5. Решением неравенства является отрезок между корнями: $$ 3 \le p \le 7 $$
6. Наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее 105 тыс. руб., равна 7.

Ответ: 7