Завдання відкритої форми з розго 1. Розв'яжіть рівняння 2^2x+4 * 3^x+1 = 96 * 3^2x+1 * 2^x-1.

Розв'язання:

Дане рівняння: \( 2^{2x+4} \cdot 3^{x+1} = 96 \cdot 3^{2x+1} \cdot 2^{x-1} \)

1. Перегрупуємо члени рівняння, щоб згрупувати однакові основи степенів:



\( \frac{2^{2x+4}}{2^{x-1}} = \frac{96 \cdot 3^{2x+1}}{3^{x+1}} \)



2. Застосуємо властивість степенів \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):



\( 2^{(2x+4) - (x-1)} = 96 \cdot 3^{(2x+1) - (x+1)} \)




\( 2^{2x+4-x+1} = 96 \cdot 3^{2x+1-x-1} \)




\( 2^{x+5} = 96 \cdot 3^x \)



3. Розкладемо \( 2^{x+5} \) як \( 2^x \cdot 2^5 \) і \( 3^x \) залишається без змін. Число 96 розкладемо на множники: \( 96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3 \).



\( 2^x \cdot 2^5 = (2^5 \cdot 3) \cdot 3^x \)




\( 2^x \cdot 32 = 32 \cdot 3 \cdot 3^x \)



4. Розділимо обидві частини рівняння на 32:



\( 2^x = 3 \cdot 3^x \)



5. Розділимо обидві частини рівняння на \( 3^x \) (оскільки \( 3^x \) завжди більше нуля, ділення коренів не змінює):



\( \frac{2^x}{3^x} = 3 \)



6. Застосуємо властивість степенів \( \frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m \):



\( (\frac{2}{3})^x = 3 \)



7. Щоб знайти \( x \), візьмемо логарифм від обох частин рівняння за основою \( \frac{2}{3} \):



\( x = \log_{\frac{2}{3}}(3) \)



8. Також можна виразити \( x \) через натуральний або десятковий логарифм:



\( x = \frac{\ln(3)}{\ln(\frac{2}{3})} = \frac{\ln(3)}{\ln(2) - \ln(3)} \)

Відповідь: \( x = \log_{\frac{2}{3}}(3) \) або \( x = \frac{\ln(3)}{\ln(2) - \ln(3)} \).