Заряженный объект (m = 14 г, q = 7 мкКл) закреплён на вертикальной невесомой пружине (k = 200 Н/м). Найди удлинение пружины при помещении данной системы в электрическое поле бесконечной пластины с равномерно распределённым зарядом (σ = 6 мкКл/м²). (Ответ округли до десятых.)

Решение:

Для того чтобы найти удлинение пружины, нам нужно рассчитать силу, действующую на заряженный объект. Эта сила складывается из силы тяжести и силы Кулона, действующей со стороны электрического поля пластины.

1. Переведем все величины в СИ:
   • Масса объекта: \( m = 14 \text{ г} = 14 \times 10^{-3} \text{ кг} \)
   • Заряд объекта: \( q = 7 \text{ мкКл} = 7 \times 10^{-6} \text{ Кл} \)
   • Жесткость пружины: \( k = 200 \text{ Н/м} \)
   • Поверхностная плотность заряда пластины: \( σ = 6 \text{ мкКл/м}^2 = 6 \times 10^{-6} \text{ Кл/м}^2 \)
2. Рассчитаем силу тяжести:
   \( F_{тяж} = m \times g \), где \( g \) - ускорение свободного падения, принимаем \( g ≈ 9.8 \text{ м/с}^2 \).
   \( F_{тяж} = 14 \times 10^{-3} \text{ кг} \times 9.8 \text{ м/с}^2 = 0.1372 \text{ Н} \)
3. Рассчитаем силу Кулона:
   Электрическое поле бесконечной заряженной пластины создает напряженность \( E = \frac{σ}{2ε_0} \), где \( ε_0 \) - диэлектрическая проницаемость вакуума, \( ε_0 ≈ 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м} \).
   \( E = \frac{6 \times 10^{-6} \text{ Кл/м}^2}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м}} ≈ 338983 \text{ Н/Кл} \)
   Сила Кулона: \( F_{кулон} = q \times E \)
   \( F_{кулон} = 7 \times 10^{-6} \text{ Кл} \times 338983 \text{ Н/Кл} ≈ 2.37288 \text{ Н} \)
4. Найдем суммарную силу, растягивающую пружину:
   При помещении в электрическое поле, на объект действуют сила тяжести и сила Кулона. Предполагаем, что пластина расположена так, что электрическое поле направлено вверх (чтобы система могла растянуть пружину). Тогда суммарная сила, действующая вниз, будет равна сумме силы тяжести и силы Кулона.
   \( F_{суммарная} = F_{тяж} + F_{кулон} \)
   \( F_{суммарная} = 0.1372 \text{ Н} + 2.37288 \text{ Н} = 2.51008 \text{ Н} \)
5. Рассчитаем удлинение пружины:
   По закону Гука, \( F = k \times Δl \), где \( Δl \) - удлинение пружины.
   \( Δl = \frac{F_{суммарная}}{k} \)
   \( Δl = \frac{2.51008 \text{ Н}}{200 \text{ Н/м}} ≈ 0.01255 \text{ м} \)
6. Переведем удлинение в миллиметры и округлим:
   \( Δl = 0.01255 \text{ м} \times 1000 \text{ мм/м} = 12.55 \text{ мм} \)
   Округляем до десятых: \( 12.6 \text{ мм} \)

Ответ: 12.6 мм.