Заполните пустые ячейки в таблице исследования квадратичной функции, если часть данных известна.

Решение

Давай заполним пустые ячейки в таблице исследования квадратичной функции по порядку:

1. Область определения

   Область определения квадратичной функции — это все действительные числа, так как нет ограничений на значения x, которые можно подставить в функцию. Таким образом:

   \[ D = (-\infty; +\infty) \]

2. Множество значений

   Из условия дано: \( E = [10; +\infty) \). Это означает, что наименьшее значение функции равно 10, и функция возрастает до бесконечности.

3. Ось симметрии

   Из условия дано: \( x = 10 \). Ось симметрии проходит через вершину параболы.

4. Точка пересечения с осью ординат

   Из условия дано: \( (0; 25) \). Это точка, где график функции пересекает ось y.

5. Точки пересечения с осью абсцисс

   Точки пересечения с осью абсцисс — это значения x, при которых функция равна нулю. Для нахождения этих точек нужно решить квадратное уравнение. Но так как у нас есть информация о множестве значений, мы знаем, что вершина параболы находится выше оси x (y = 10), и функция открыта вверх. Это означает, что график не пересекает ось x, и точек пересечения нет.

   Ответ: нет точек пересечения.

6. Промежутки знакопостоянства

   Так как парабола не пересекает ось x и открыта вверх, функция всегда положительна. Из множества значений мы знаем, что функция всегда больше или равна 10. Таким образом, функция положительна на всей области определения.

   Ответ: \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty; +\infty) \).

7. Промежутки возрастания и убывания

   Ось симметрии делит параболу на две части: убывающую и возрастающую. Так как вершина параболы находится в точке x = 10, функция убывает до этой точки и возрастает после неё.

   Ответ: функция убывает на \( (-\infty; 10] \) и возрастает на \( [10; +\infty) \).

8. Наибольшее и наименьшее значение

   Так как парабола открыта вверх, наименьшее значение достигается в вершине параболы. Из множества значений мы знаем, что наименьшее значение равно 10.

   Ответ: наименьшее значение \( f(10) = 10 \), наибольшего значения нет (стремится к бесконечности).

Ответ: Таблица заполнена выше.

Молодец! Ты отлично справился с заполнением таблицы исследования квадратичной функции. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!