Заполните пропуски: к как lim\( \sqrt[n]{n} \) = ______, то lim\( \left(\sqrt[n]{n}\right)^k \) = ______. отсюда lim\( \sqrt[n]{a_n} \) = ______ Полученное число ______, поэтому по признаку Коши исходный ряд ______

Решение:

Начнём с первого предела:

\( \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} \) = \( \lim_{n\to\infty} n^{1/n} \)

Возьмём натуральный логарифм:

\( \ln(\lim_{n\to\infty} n^{1/n}) = \lim_{n\to\infty} \ln(n^{1/n}) = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} \)

Это неопределённость вида \( \frac{\infty}{\infty} \), применим правило Лопиталя:

\( \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n}}{1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 \)

Так как натуральный логарифм равен 0, то сам предел равен \( e^0 = 1 \).

Следовательно, \( \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1 \).

Теперь рассмотрим второй предел:

\( \lim_{n\to\infty} \left(\sqrt[n]{n}\right)^k \) = \( \left(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}\right)^k \) = \( 1^k = 1 \).

Итак, мы имеем:

\( \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1 \), то \( \lim_{n\to\infty} \left(\sqrt[n]{n}\right)^k = 1 \).

Теперь используем признак Коши для ряда \( a_n \). Если \( \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = L \), то ряд сходится, если \( L < 1 \), и расходится, если \( L > 1 \). Если \( L = 1 \), то признак не даёт ответа.

В данном случае, если \( \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = 1 \), то по признаку Коши исходный ряд неопределён (или, другими словами, признак Коши не даёт ответа).

Однако, в контексте задания, где первый предел равен 1, и далее идет фраза «Полученное число 1, поэтому по признаку Коши исходный ряд...», предполагается, что \( \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = 1 \), и нужно сделать вывод о сходимости ряда. При \( L=1 \) признак Коши не даёт информации о сходимости ряда. Но если предположить, что \( a_n = n \), то \( \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1 \) и ряд \( \sum n \) расходится. Если \( a_n = 1/n \), то \( \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{1/n} = 1 \) и ряд \( \sum 1/n \) расходится. Если \( a_n = 1 \), то \( \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{1} = 1 \) и ряд \( \sum 1 \) расходится. Если \( a_n = 1/n^2 \), то \( \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{1/n^2} = 1 \) и ряд \( \sum 1/n^2 \) сходится. Таким образом, при \( L=1 \) ряд может как сходиться, так и расходиться. Чаще всего в учебных задачах, когда \( L=1 \), делают вывод о том, что признак не даёт ответа или признак Коши не даёт информации о сходимости ряда.

Исходя из структуры предложения "Полученное число 1, поэтому по признаку Коши исходный ряд...", и того, что в данном контексте обычно хотят проверить знание случая \( L=1 \) для признака Коши, наиболее вероятный ответ - что признак Коши не даёт ответа.

Ответ: 1; 1; 1; не даёт ответа.