Запишите уравнение касательной плоскости, когда функция задается явно z = Запишите уравнение нормали, когда функция задается явно z = f(x, y) z = f (x, y)

Математика. 11 класс

Давай вспомним уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной явно уравнением z = f(x, y).

Пусть дана функция двух переменных z = f(x, y), и нужно найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M₀(x₀, y₀, z₀), где z₀ = f(x₀, y₀).

Уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x, y) в точке M₀(x₀, y₀, z₀) имеет вид:

\[ z - z_0 = f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) \]

где f'_x(x₀, y₀) и f'_y(x₀, y₀) — частные производные функции f(x, y) по x и y, вычисленные в точке (x₀, y₀).

Уравнение нормали к поверхности z = f(x, y) в точке M₀(x₀, y₀, z₀) имеет вид:

\[ \frac{x - x_0}{f'_x(x_0, y_0)} = \frac{y - y_0}{f'_y(x_0, y_0)} = \frac{z - z_0}{-1} \]

Таким образом, мы записали уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной явно уравнением z = f(x, y).

Ответ: Уравнение касательной плоскости: \[ z - z_0 = f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) \], уравнение нормали: \[ \frac{x - x_0}{f'_x(x_0, y_0)} = \frac{y - y_0}{f'_y(x_0, y_0)} = \frac{z - z_0}{-1} \]

У тебя все получится! Главное — не бойся трудностей и верь в свои силы!