Запишите ответы к заданиям 2–5.

Решение:

Задание 2.

Дано: окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC. OH ⊥ AC, ∠OAC = 45°, AC = 16.

Найти: OH.

1. Рассмотрим треугольник AOC. Он является равнобедренным, так как OA и OC — радиусы описанной окружности.
2. Угол ∠OAC = 45°, следовательно, ∠OCA = 45° (углы при основании равнобедренного треугольника).
3. Сумма углов в треугольнике AOC: ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°.
4. OH — высота (и биссектриса, и медиана, так как треугольник AOC равнобедренный), проведенная из вершины O к основанию AC.
5. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит основание пополам: AH = HC = AC / 2 = 16 / 2 = 8.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник OHA. Угол ∠OHA = 90°, ∠OAH = 45°. Следовательно, ∠AOH = 45°.
7. Треугольник OHA является равнобедренным (углы при основании равны 45°). Значит, OH = AH.
8. OH = 8.

Ответ: 8

Задание 3.

Дано: окружность вписана в треугольник ABC. M, K, P — точки касания со сторонами. AB = 5, BC = ?, AC = 10, MP = 7.

Найти: BC.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности, и теорему о связи между длиной стороны и длиной отрезков касательных. Однако, в условии задачи не хватает данных для однозначного определения длины стороны BC. Длина отрезка MP (хорды, соединяющей две точки касания) не дает прямой информации о длине стороны BC без дополнительных условий или данных о треугольнике ABC (например, его тип или углы).

Условие задачи не позволяет однозначно найти длину стороны BC.

Задание 4.

Дано: MP — касательная к окружности в точке P. Центр окружности — O. ∠OMP = 20°. ∠POM = ?

Найти: ∠POM.

1. OP — радиус окружности, проведенный к точке касания P. Следовательно, OP ⊥ MP.
2. Угол ∠OPM = 90°.
3. В треугольнике OMP: ∠POM = 180° - ∠OMP - ∠OPM = 180° - 20° - 90° = 70°.

Ответ: 70°

Задание 5.

Дано: ABC — треугольник, ∠BAC = 65°. Точка D симметрична вершине C относительно прямой AB.

Найти: ∠ADC.

1. По условию точка D симметрична точке C относительно прямой AB. Это означает, что AB является серединным перпендикуляром к отрезку CD.
2. Следовательно, CD ⊥ AB, и точка пересечения AB и CD является серединой CD.
3. Также, AD = AC и BD = BC.
4. Рассмотрим треугольник ACD. AD = AC, значит, треугольник ACD равнобедренный.
5. Угол ∠CAD = ∠BAC = 65°.
6. В равнобедренном треугольнике ACD углы при основании равны: ∠ADC = ∠ACD.
7. Сумма углов в треугольнике ACD: ∠CAD + ∠ADC + ∠ACD = 180°.
8. 65° + ∠ADC + ∠ADC = 180°.
9. 2∠ADC = 180° - 65° = 115°.
10. ∠ADC = 115° / 2 = 57.5°.

Ответ: 57.5°