1.1. Запишите множество \(A\), элементы которого суть делители числа 24. 1.2. Найдите множество целых корней уравнения \(9x^2 – 1 = 0\). 1.3. Опишите множество точек \(M (x; y)\) плоскости, для которых: a) \(y \le 3\); б) \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 \le 9\). 1.4. Множество \(A\) содержит 4 элемента. Сколько подмножеств содержится в этом множестве? 1.5. Найдите пересечение множеств \(A = \{0, 1, 2, 3\}, B = \{-1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). 1.6. Докажите, что если \(A \subset B\), то \(A \cap B = A\). 1.7. Пусть множество \(A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), множество \(B = \{1, 2, 4, 6, 8\}\, множество \(C = \{ -1, 0, 3, 4, 7, 8\}\). Найдите множества: α) \(A \cap B\); 2) \(A \cup B \cup C\); б) \(A \cup C\); d) \((A \cup B) \cap C\); в) \(A \cap B \cap C\); e) \(A \cup (B \cap C)\). 1.8. Найдите разность множеств \(A = \{2n – 1, n \in N\}\) и \(B = \{4m + 1, m\in N\}\). 1.9. Докажите, что дополнение дополнения множества \(B\) до множества \(A\) есть само множество \(B\).

Решение заданий:

1. 1. Запишите множество \( A \), элементы которого суть делители числа 24. Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Таким образом, множество \(A\) можно записать как: \[ A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \] 2. 2. Найдите множество целых корней уравнения \( 9x^2 - 1 = 0 \). Решим уравнение: \[ 9x^2 - 1 = 0 \] \[ 9x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{9} \] \[ x = \pm \frac{1}{3} \] Целые корни отсутствуют. Множество целых корней - пустое множество: \( \varnothing \) 3. 3. Опишите множество точек \( M(x; y) \) плоскости, для которых: a) \( y \leq 3 \); б) \( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \leq 9 \). a) \( y \leq 3 \) описывает полуплоскость, находящуюся ниже или на прямой \( y = 3 \). б) \( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \leq 9 \) описывает круг с центром в точке \( (2, -1) \) и радиусом 3 (включая границу круга). 4. 4. Множество \( A \) содержит 4 элемента. Сколько подмножеств содержится в этом множестве? Если множество \( A \) содержит \( n \) элементов, то количество его подмножеств равно \( 2^n \). В данном случае, \( n = 4 \), поэтому количество подмножеств равно: \[ 2^4 = 16 \] 5. 5. Найдите пересечение множеств \( A = \{0, 1, 2, 3\}, B = \{-1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Пересечение множеств \( A \) и \( B \) (обозначается \( A \cap B \)) - это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат как \( A \), так и \( B \). В данном случае: \[ A \cap B = \{2, 3\} \] 6. 6. Докажите, что если \( A \subset B \), то \( A \cap B = A \). Если \( A \subset B \), это означает, что каждый элемент множества \( A \) также является элементом множества \( B \). Пересечение множеств \( A \) и \( B \) состоит из элементов, которые принадлежат обоим множествам. Поскольку все элементы \( A \) также находятся в \( B \), то пересечение \( A \) и \( B \) будет равно множеству \( A \). Таким образом, \( A \cap B = A \) что и требовалось доказать. 7. 7. Пусть множество \( A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}, B = \{1, 2, 4, 6, 8\}, C = \{-1, 0, 3, 4, 7, 8\} \). Найдите множества: а) \( A \cap B \): элементы, общие для \( A \) и \( B \). \[ A \cap B = \{1, 2, 4, 6\} \] б) \( A \cup C \): все элементы, которые находятся в \( A \) или в \( C \) или в обоих. \[ A \cup C = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \] в) \( A \cap B \cap C \): элементы, общие для \( A \), \( B \) и \( C \). \[ A \cap B \cap C = \{4\} \] г) \( A \cup B \cup C \): все элементы, которые находятся в \( A \), \( B \) или \( C \) или в любых комбинациях этих множеств. \[ A \cup B \cup C = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \] д) \( (A \cup B) \cap C \): сначала найдем \( A \cup B \), а затем пересечем его с \( C \). \[ A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\} \] \[ (A \cup B) \cap C = \{0, 3, 4, 8\} \] е) \( A \cup (B \cap C) \): сначала найдем \( B \cap C \), а затем объединим его с \( A \). \[ B \cap C = \{4, 8\} \] \[ A \cup (B \cap C) = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\} \] 8. 8. Найдите разность множеств \( A = \{2n - 1, n \in N\} \) и \( B = \{4m + 1, m \in N\} \). \( A \) - это множество всех нечетных натуральных чисел: \( \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...\} \). \( B \) - это множество чисел вида \( 4m + 1 \), где \( m \in N \): \( \{5, 9, 13, 17, 21, 25, ...\} \). Разность множеств \( A \) и \( B \) (обозначается \( A \setminus B \)) - это множество, содержащее все элементы из \( A \), которые не принадлежат \( B \). В данном случае: \[ A \setminus B = \{1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, ...\} \] То есть все нечетные числа, которые не представимы в виде \( 4m + 1 \). 9. 9. Докажите, что дополнение дополнения множества \( B \) до множества \( A \) есть само множество \( B \). Обозначим дополнение множества \( B \) до \( A \) как \( A \setminus B \). Тогда дополнение дополнения \( B \) до \( A \) будет \( A \setminus (A \setminus B) \). По определению разности множеств, \( A \setminus (A \setminus B) \) содержит все элементы из \( A \), которые не принадлежат \( A \setminus B \). Но \( A \setminus B \) - это элементы из \( A \), которые не принадлежат \( B \). Следовательно, \( A \setminus (A \setminus B) \) содержит элементы из \( A \), которые не являются элементами "элементов из \( A \), не принадлежащих \( B \)". Это означает, что \( A \setminus (A \setminus B) \) содержит элементы из \( A \), которые принадлежат \( B \). То есть, \( A \setminus (A \setminus B) = A \cap B \). Если предположить, что \( B \subset A \), то \( A \cap B = B \). Тогда \( A \setminus (A \setminus B) = B \), что и требовалось доказать.

Ответ: Решения выше.

Прекрасная работа! Ты отлично справился с этими заданиями. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Не останавливайся на достигнутом, иди вперёд и покоряй новые вершины знаний! Ты молодец!