1. Запиши, какие утверждения являются верными: NI А. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Б. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике возникают, когда из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота. В. Средняя линия треугольника это точка пересечения трех высот треугольника. Треугольники АВС и А1В1С1 имеют параметры сторон: АВ = 1.7 см, ВС» 4.2 см, СА» 3 см, А1В1 34 мм, BIC-84 MM, CIA 60 мм. Докажите их пропорциональность, либо обратное. N3 В подобных треугольниках АВС и КММ стороны АВ и КМ, ВС и М№ являются сходными. Найдите стороны треугольника KMN, если АВ-7 см, ВС-5 см, СА-4см, КМ/АВ - 1,2. N4 Длина тени дерева равна 9.2 м, а длина тени человека, рост которого 1.85 м, равна 2.5 м. Найдите высоту дерева. Ответ округлите до сотых. N5 В треугольнике, стороны которого равны 25 см, 24 см и 7 см, проведена высота к его большей стороне, Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону. Ответ дайте в обыкновенных дробях.

Решение заданий контрольной работы по геометрии

Задание 1

Необходимо определить, какие из утверждений верны.

• А. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. – Верно (по признаку подобия треугольников).
• Б. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике возникают, когда из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота. – Верно (свойство высоты в прямоугольном треугольнике).
• В. Средняя линия треугольника — это точка пересечения трех высот треугольника. – Неверно (средняя линия соединяет середины двух сторон, а точка пересечения высот - ортоцентр).

Ответ: Верны утверждения А и Б.

Задание 2

Доказать пропорциональность сторон треугольников ABC и A1B1C1, где AB = 1.7 см, BC = 4.2 см, CA = 3 см, A1B1 = 34 мм, B1C1 = 84 мм, C1A1 = 60 мм.

Сначала переведем все размеры в одну единицу измерения, например, в миллиметры:

• AB = 1.7 см = 17 мм
• BC = 4.2 см = 42 мм
• CA = 3 см = 30 мм

Теперь проверим отношения сторон:

• \(\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{34}{17} = 2\)
• \(\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{84}{42} = 2\)
• \(\frac{C_1A_1}{CA} = \frac{60}{30} = 2\)

Так как отношения всех соответствующих сторон равны, то треугольники пропорциональны.

Ответ: Треугольники ABC и A1B1C1 пропорциональны, коэффициент пропорциональности равен 2.

Задание 3

В подобных треугольниках ABC и KMN стороны AB и KM, BC и MN являются сходственными. Найти стороны треугольника KMN, если AB = 7 см, BC = 5 см, CA = 4 см и \(\frac{KM}{AB} = 1.2\).

Определим стороны треугольника KMN:

• KM = 1.2 * AB = 1.2 * 7 = 8.4 см
• MN = 1.2 * BC = 1.2 * 5 = 6 см
• KN = 1.2 * CA = 1.2 * 4 = 4.8 см

Ответ: KM = 8.4 см, MN = 6 см, KN = 4.8 см.

Задание 4

Длина тени дерева равна 9.2 м, а длина тени человека ростом 1.85 м равна 2.5 м. Найти высоту дерева.

Составим пропорцию, используя подобие треугольников, образованных высотой объекта и длиной его тени:

\(\frac{Высота\ дерева}{Длина\ тени\ дерева} = \frac{Рост\ человека}{Длина\ тени\ человека}\)

\(\frac{Высота\ дерева}{9.2} = \frac{1.85}{2.5}\)

Высота дерева = \(\frac{1.85 \cdot 9.2}{2.5} = \frac{17.02}{2.5} = 6.808\) м

Округлим до сотых: 6.81 м.

Ответ: Высота дерева равна 6.81 м.

Задание 5

В треугольнике со сторонами 25 см, 24 см и 7 см проведена высота к его большей стороне (25 см). Найти отрезки, на которые высота делит эту сторону.

Пусть дан треугольник ABC, где AB = 25 см, BC = 24 см, AC = 7 см. Высота проведена из вершины C к стороне AB (большей стороне). Обозначим основание высоты как H. Тогда AH = x и HB = 25 - x.

Применим теорему Пифагора для треугольников AHC и BHC:

• В треугольнике AHC: \(AH^2 + CH^2 = AC^2\)
• В треугольнике BHC: \(HB^2 + CH^2 = BC^2\)

Получаем систему уравнений:

• \(x^2 + CH^2 = 7^2 = 49\)
• \((25 - x)^2 + CH^2 = 24^2 = 576\)

Выразим CH^2 из первого уравнения и подставим во второе:

• \(CH^2 = 49 - x^2\)
• \((25 - x)^2 + 49 - x^2 = 576\)
• \(625 - 50x + x^2 + 49 - x^2 = 576\)
• \(-50x = 576 - 625 - 49\)
• \(-50x = -98\)
• \(x = \frac{98}{50} = \frac{49}{25} = 1.96\) см

Тогда HB = 25 - x = 25 - \(\frac{49}{25}\) = \(\frac{625 - 49}{25} = \frac{576}{25} = 23.04\) см.

Ответ: Отрезки, на которые высота делит сторону, равны \(\frac{49}{25}\) см и \(\frac{576}{25}\) см.

Ответ: См. решения выше.

Ты отлично справился с заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!