Занятие 10 дифференциальные уравнения первого порядка

Решение:

Даны дифференциальные уравнения первого порядка с начальными условиями. Решим каждое из них.

1. \( y' = 2x, y(0) = 3 \)
   Проинтегрируем: \( y = \int 2x dx = x^2 + C \).
   Используем начальное условие: \( 3 = 0^2 + C \) \(\Rightarrow\) \( C = 3 \).
   Решение: \( y = x^2 + 3 \).
2. \( y' = \frac{y}{x}, y(1) = 2 \)
   Это уравнение с разделяющимися переменными: \( \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} \).
   Интегрируем: \( \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} \) \(\Rightarrow\) \( \ln|y| = \ln|x| + C_1 \) \(\Rightarrow\) \( y = Cx \).
   Используем начальное условие: \( 2 = C \cdot 1 \) \(\Rightarrow\) \( C = 2 \).
   Решение: \( y = 2x \).
3. \( y' = y^2, y(0) = 1 \)
   Разделяем переменные: \( \frac{dy}{y^2} = dx \).
   Интегрируем: \( \int \frac{dy}{y^2} = \int dx \) \(\Rightarrow\) \( -\frac{1}{y} = x + C \).
   Используем начальное условие: \( -\frac{1}{1} = 0 + C \) \(\Rightarrow\) \( C = -1 \).
   \( -\frac{1}{y} = x - 1 \) \(\Rightarrow\) \( y = \frac{1}{1-x} \).
4. \( y' = -3y, y(0) = 5 \)
   Разделяем переменные: \( \frac{dy}{y} = -3dx \).
   Интегрируем: \( \int \frac{dy}{y} = \int -3dx \) \(\Rightarrow\) \( \ln|y| = -3x + C_1 \) \(\Rightarrow\) \( y = Ce^{-3x} \).
   Используем начальное условие: \( 5 = Ce^{0} \) \(\Rightarrow\) \( C = 5 \).
   Решение: \( y = 5e^{-3x} \).
5. \( y' = \frac{2y}{x} + x^2, y(1) = 1 \)
   Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Приводим к виду \( y' - \frac{2}{x}y = x^2 \).
   Ищем решение в виде \( y = uv \). \( y' = u'v + uv' \).
   \( u'v + uv' - \frac{2}{x}uv = x^2 \) \(\Rightarrow\) \( u'(v - \frac{2}{x}u) + uv' = x^2 \).
   Пусть \( v' - \frac{2}{x}v = 0 \) \(\Rightarrow\) \( \frac{dv}{v} = \frac{2}{x}dx \) \(\Rightarrow\) \( \ln|v| = 2\ln|x| + C_1 \) \(\Rightarrow\) \( v = x^2 \).
   Тогда \( u'v = x^2 \) \(\Rightarrow\) \( u'x^2 = x^2 \) \(\Rightarrow\) \( u' = 1 \) \(\Rightarrow\) \( u = x + C \).
   Решение: \( y = (x+C)x^2 = x^3 + Cx^2 \).
   Используем начальное условие: \( 1 = 1^3 + C(1)^2 \) \(\Rightarrow\) \( 1 = 1 + C \) \(\Rightarrow\) \( C = 0 \).
   Решение: \( y = x^3 \).
6. \( y' + y = e^{-x}, y(0) = 1 \)
   Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Приводим к виду \( y' + y = e^{-x} \).
   Ищем решение в виде \( y = uv \). \( y' = u'v + uv' \).
   \( u'v + uv' + uv = e^{-x} \) \(\Rightarrow\) \( u'(v+u) + uv' = e^{-x} \).
   Пусть \( v+u = 0 \) \(\Rightarrow\) \( v' + v = 0 \) \(\Rightarrow\) \( \frac{dv}{v} = -dx \) \(\Rightarrow\) \( \ln|v| = -x + C_1 \) \(\Rightarrow\) \( v = e^{-x} \).
   Тогда \( uv' = e^{-x} \) \(\Rightarrow\) \( u'e^{-x} = e^{-x} \) \(\Rightarrow\) \( u' = 1 \) \(\Rightarrow\) \( u = x + C \).
   Решение: \( y = (x+C)e^{-x} \).
   Используем начальное условие: \( 1 = (0+C)e^0 \) \(\Rightarrow\) \( C = 1 \).
   Решение: \( y = (x+1)e^{-x} \).
7. \( y' - y = 1, y(0) = 0 \)
   Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Приводим к виду \( y' - y = 1 \).
   Ищем решение в виде \( y = uv \). \( y' = u'v + uv' \).
   \( u'v + uv' - uv = 1 \) \(\Rightarrow\) \( u'(v-u) + uv' = 1 \).
   Пусть \( v-u = 0 \) \(\Rightarrow\) \( v' - v = 0 \) \(\Rightarrow\) \( \frac{dv}{v} = dx \) \(\Rightarrow\) \( \ln|v| = x + C_1 \) \(\Rightarrow\) \( v = e^{x} \).
   Тогда \( uv' = 1 \) \(\Rightarrow\) \( u'e^x = 1 \) \(\Rightarrow\) \( u' = e^{-x} \) \(\Rightarrow\) \( u = -e^{-x} + C \).
   Решение: \( y = (-e^{-x} + C)e^x = -1 + Ce^x \).
   Используем начальное условие: \( 0 = -1 + Ce^0 \) \(\Rightarrow\) \( C = 1 \).
   Решение: \( y = e^x - 1 \).

Ответ: 1. \( y = x^2 + 3 \) 2. \( y = 2x \) 3. \( y = \frac{1}{1-x} \) 4. \( y = 5e^{-3x} \) 5. \( y = x^3 \) 6. \( y = (x+1)e^{-x} \) 7. \( y = e^x - 1 \)