Словосочетание «учтиво кивнул» построено по типу примыкания, где главное слово «кивнул», а зависимое «учтиво» - наречие. Чтобы заменить его синонимичным словосочетанием со связью управление, нужно использовать существительное в косвенном падеже.
Ответ: кивнул с учтивостью