Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём 216 м³. При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала? В ответ запишите, какой должна быть высота бака (в метрах).

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно найти размеры бака, при которых площадь его поверхности будет минимальной, при заданном объеме. Обозначим сторону квадратного дна как a (в метрах), а высоту бака как h (в метрах).

• Объем бака равен V = a² * h. По условию, V = 216 м³.
• Площадь поверхности бака (материал для изготовления) равна сумме площади дна, площади крышки и площади боковых стенок: S = 2a² + 4ah.

Выразим высоту h из формулы объема: h = 216 / a².

Подставим это выражение для h в формулу площади поверхности:

• S(a) = 2a² + 4a * (216 / a²)
• S(a) = 2a² + 864 / a

Чтобы найти минимум площади, нужно взять производную функции S(a) по a и приравнять ее к нулю:

• S'(a) = d/da (2a² + 864a⁻¹)
• S'(a) = 4a - 864a⁻²
• S'(a) = 4a - 864 / a²

Приравниваем производную к нулю:

• 4a - 864 / a² = 0
• 4a = 864 / a²
• 4a³ = 864
• a³ = 864 / 4
• a³ = 216
• a = ³√216
• a = 6 метров.

Теперь найдем высоту h, используя найденное значение a:

• h = 216 / a²
• h = 216 / 6²
• h = 216 / 36
• h = 6 метров.

Таким образом, для минимизации расхода материала размеры бака должны быть 6x6x6 метров.

Проверка:

Вторая производная S''(a) = 4 + 1728/a³. При a=6, S''(6) = 4 + 1728/216 > 0, что подтверждает минимум.