Закон распределения дискретной случайной величины представлен в таблице. Необходимо: 1) проверить, является ли данная таблица законом распределения дискретной случайной величины; 2) определить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднеквадратичное отклонение σ(x); 3) построить график этого закона распределения вероятностей. Вариант №1. X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 --|---|---|---|---|---|---|--- pi | 0,01 | 0,12 | 0,23 | 0,28 | 0,19 | 0,11 | 0,06 Вариант №2 X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 --|---|---|---|---|---|---|--- pi | 0,20 | 0,31 | 0,24 | 0,13 | 0,07 | 0,04 | 0,01 Вариант №3 X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 --|---|---|---|---|---|---|--- pi | 0,04 | 0,08 | 0,32 | 0,31 | 0,15 | 0,08 | 0,02 Вариант №4 X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 --|---|---|---|---|---|---|--- pi | 0,42 | 0,23 | 0,15 | 0,10 | 0,06 | 0,03 | 0,01

Решение:

Для каждого варианта необходимо выполнить три шага.

Шаг 1: Проверка, является ли таблица законом распределения вероятностей.

Для этого нужно проверить, что сумма всех вероятностей равна 1.

Вариант №1:

\( 0,01 + 0,12 + 0,23 + 0,28 + 0,19 + 0,11 + 0,06 = 1,00 \).
Сумма вероятностей равна 1. Таблица является законом распределения.

Вариант №2:

\( 0,20 + 0,31 + 0,24 + 0,13 + 0,07 + 0,04 + 0,01 = 1,00 \).
Сумма вероятностей равна 1. Таблица является законом распределения.

Вариант №3:

\( 0,04 + 0,08 + 0,32 + 0,31 + 0,15 + 0,08 + 0,02 = 1,00 \).
Сумма вероятностей равна 1. Таблица является законом распределения.

Вариант №4:

\( 0,42 + 0,23 + 0,15 + 0,10 + 0,06 + 0,03 + 0,01 = 1,00 \).
Сумма вероятностей равна 1. Таблица является законом распределения.

Шаг 2: Определение математического ожидания M(X), дисперсии D(X) и среднеквадратичного отклонения σ(x).

Вариант №1:

Математическое ожидание M(X) = \( \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \)

M(X) = \( (0 \cdot 0,01) + (1 \cdot 0,12) + (2 \cdot 0,23) + (3 \cdot 0,28) + (4 \cdot 0,19) + (5 \cdot 0,11) + (6 \cdot 0,06) \)

M(X) = \( 0 + 0,12 + 0,46 + 0,84 + 0,76 + 0,55 + 0,36 \) = \( 3,09 \)

Дисперсия D(X) = M(X^2) - (M(X))^2

M(X^2) = \( (0^2 \cdot 0,01) + (1^2 \cdot 0,12) + (2^2 \cdot 0,23) + (3^2 \cdot 0,28) + (4^2 \cdot 0,19) + (5^2 \cdot 0,11) + (6^2 \cdot 0,06) \)

M(X^2) = \( (0 \cdot 0,01) + (1 \cdot 0,12) + (4 \cdot 0,23) + (9 \cdot 0,28) + (16 \cdot 0,19) + (25 \cdot 0,11) + (36 \cdot 0,06) \)

M(X^2) = \( 0 + 0,12 + 0,92 + 2,52 + 3,04 + 2,75 + 2,16 \) = \( 11,51 \)

D(X) = \( 11,51 - (3,09)^2 \) = \( 11,51 - 9,5481 \) = \( 1,9619 \)

Среднеквадратичное отклонение σ(x) = \( \sqrt{D(X)} \)

σ(x) = \( \sqrt{1,9619} \) \( \approx 1,4007 \)

Вариант №2:

M(X) = \( (0 \cdot 0,20) + (1 \cdot 0,31) + (2 \cdot 0,24) + (3 \cdot 0,13) + (4 \cdot 0,07) + (5 \cdot 0,04) + (6 \cdot 0,01) \)

M(X) = \( 0 + 0,31 + 0,48 + 0,39 + 0,28 + 0,20 + 0,06 \) = \( 1,72 \)

M(X^2) = \( (0^2 \cdot 0,20) + (1^2 \cdot 0,31) + (2^2 \cdot 0,24) + (3^2 \cdot 0,13) + (4^2 \cdot 0,07) + (5^2 \cdot 0,04) + (6^2 \cdot 0,01) \)

M(X^2) = \( 0 + 0,31 + 0,96 + 1,17 + 1,12 + 1,00 + 0,36 \) = \( 4,92 \)

D(X) = \( 4,92 - (1,72)^2 \) = \( 4,92 - 2,9584 \) = \( 1,9616 \)

σ(x) = \( \sqrt{1,9616} \) \( \approx 1,4006 \)

Вариант №3:

M(X) = \( (0 \cdot 0,04) + (1 \cdot 0,08) + (2 \cdot 0,32) + (3 \cdot 0,31) + (4 \cdot 0,15) + (5 \cdot 0,08) + (6 \cdot 0,02) \)

M(X) = \( 0 + 0,08 + 0,64 + 0,93 + 0,60 + 0,40 + 0,12 \) = \( 2,77 \)

M(X^2) = \( (0^2 \cdot 0,04) + (1^2 \cdot 0,08) + (2^2 \cdot 0,32) + (3^2 \cdot 0,31) + (4^2 \cdot 0,15) + (5^2 \cdot 0,08) + (6^2 \cdot 0,02) \)

M(X^2) = \( 0 + 0,08 + 1,28 + 2,79 + 2,40 + 2,00 + 0,72 \) = \( 9,27 \)

D(X) = \( 9,27 - (2,77)^2 \) = \( 9,27 - 7,6729 \) = \( 1,5971 \)

σ(x) = \( \sqrt{1,5971} \) \( \approx 1,2638 \)

Вариант №4:

M(X) = \( (0 \cdot 0,42) + (1 \cdot 0,23) + (2 \cdot 0,15) + (3 \cdot 0,10) + (4 \cdot 0,06) + (5 \cdot 0,03) + (6 \cdot 0,01) \)

M(X) = \( 0 + 0,23 + 0,30 + 0,30 + 0,24 + 0,15 + 0,06 \) = \( 1,28 \)

M(X^2) = \( (0^2 \cdot 0,42) + (1^2 \cdot 0,23) + (2^2 \cdot 0,15) + (3^2 \cdot 0,10) + (4^2 \cdot 0,06) + (5^2 \cdot 0,03) + (6^2 \cdot 0,01) \)

M(X^2) = \( 0 + 0,23 + 0,60 + 0,90 + 0,96 + 0,75 + 0,36 \) = \( 3,80 \)

D(X) = \( 3,80 - (1,28)^2 \) = \( 3,80 - 1,6384 \) = \( 2,1616 \)

σ(x) = \( \sqrt{2,1616} \) \( \approx 1,4702 \)

Шаг 3: Построение графика закона распределения вероятностей.

График строится в виде столбчатой диаграммы, где по оси абсцисс откладываются значения случайной величины X, а по оси ординат — соответствующие вероятности P(X).

Вариант №1:

Вариант №2:

Вариант №3:

Вариант №4:

Ответ: Все таблицы являются законами распределения вероятностей. Расчеты M(X), D(X), σ(x) и графики представлены выше.