Задумано двузначное число, которое делится на 9. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумано?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Пусть задуманное двузначное число будет $$ab$$, где $$a$$ - десятки, $$b$$ - единицы. Число можно записать как $$10a + b$$.
• По условию, это число делится на 9, значит, $$10a + b$$ делится на 9.
• Когда к числу $$ab$$ справа приписали это же число, получилось четырехзначное число $$abab$$.
• Число $$abab$$ можно представить как $$100 imes (10a + b) + (10a + b)$$, что равно $$101 imes (10a + b)$$.
• Также, число $$abab$$ можно представить как $$1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b = 101 imes (10a + b)$$.
• По условию, четырехзначное число $$abab$$ делится на 11.
• Тогда $$101 imes (10a + b)$$ делится на 11.
• Так как 101 не делится на 11 ($$101 = 9 imes 11 + 2$$), то $$(10a + b)$$ должно делиться на 11.
• Мы знаем, что $$10a + b$$ делится на 9 и на 11.
• Так как 9 и 11 взаимно простые числа, то $$(10a + b)$$ должно делиться на их произведение, то есть на $$9 imes 11 = 99$$.
• Двузначные числа, кратные 99, это только 99.
• Следовательно, задуманное число равно 99.
• Проверим: 99 делится на 9. Число 9999. $$9999 / 11 = 909$$. Таким образом, 9999 делится на 11.

Ответ: 99