Задумано двузначное число, которое делится на 8. К нему справа приписали это же число еще раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумано?

Решение:

Пусть двузначное число будет $$x$$. По условию, $$x$$ делится на 8. Это означает, что $$x$$ может быть одним из следующих чисел: 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96.

Когда к этому числу справа приписывают то же число еще раз, получается четырехзначное число. Это четырехзначное число можно представить как $$100x + x = 101x$$.

По условию, это четырехзначное число делится на 11. То есть, $$101x$$ должно делиться на 11.

Проверим каждое возможное значение $$x$$:

• Если $$x=16$$, то $$101 imes 16 = 1616$$. $$1616 / 11 = 146.9...$$ (не делится)
• Если $$x=24$$, то $$101 imes 24 = 2424$$. $$2424 / 11 = 220.3...$$ (не делится)
• Если $$x=32$$, то $$101 imes 32 = 3232$$. $$3232 / 11 = 293.8...$$ (не делится)
• Если $$x=40$$, то $$101 imes 40 = 4040$$. $$4040 / 11 = 367.2...$$ (не делится)
• Если $$x=48$$, то $$101 imes 48 = 4848$$. $$4848 / 11 = 440.7...$$ (не делится)
• Если $$x=56$$, то $$101 imes 56 = 5656$$. $$5656 / 11 = 514.1...$$ (не делится)
• Если $$x=64$$, то $$101 imes 64 = 6464$$. $$6464 / 11 = 587.6...$$ (не делится)
• Если $$x=72$$, то $$101 imes 72 = 7272$$. $$7272 / 11 = 661.09...$$ (не делится)
• Если $$x=80$$, то $$101 imes 80 = 8080$$. $$8080 / 11 = 734.5...$$ (не делится)
• Если $$x=88$$, то $$101 imes 88 = 8888$$. $$8888 / 11 = 808$$. (делится!)
• Если $$x=96$$, то $$101 imes 96 = 9696$$. $$9696 / 11 = 881.4...$$ (не делится)

Таким образом, единственное двузначное число, удовлетворяющее всем условиям, это 88.

Проверка:

• 88 делится на 8.
• Приписываем 88 еще раз, получаем 8888.
• 8888 делится на 11, так как $$8888 = 11 imes 808$$.

Ответ: 88