Задумано четырёхзначное число, которое делится на 54. Справа к нему приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся восьмизначное число делится на 55. Какое число могло быть заду- мано? Если таких чисел несколько, укажите все.

Ответ: 5940

Пошаговое решение:

• Пусть задуманное число равно x. Тогда восьмизначное число, полученное приписыванием x к самому себе, можно записать как x*10000 + x = x*10001.
• Так как это число делится на 55, то x*10001 делится на 55. Число 10001 можно разложить на простые множители: 10001 = 73 * 137.
• Значит, x*73*137 должно делиться на 55 = 5 * 11. Поскольку 73 и 137 не делятся ни на 5, ни на 11, то x должно делиться на 55.
• Таким образом, x делится на 54 и на 55. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 54 и 55 равно 54 * 55 / НОД(54, 55) = 54 * 55 / 1 = 2970.
• Значит, x должно быть кратно 2970. Так как x - четырехзначное число, то x может быть 2970, 5940 или 8910.
• Проверим, какие из этих чисел делятся на 54:

• Теперь проверим, какие из чисел x*10001 делятся на 55:

• Все три числа удовлетворяют условиям.

Ответ: 5940