17. Задумали трёхзначное число, последняя 1рра L которо не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 99. Найди все числа, большие 900 и обладающие таким свойством. В ответ запиши числа в порядке возрастания, используя символ «;», без пробелов. Пример: 953;958;978

Ответ: 910;921;932;943;954;965;976;987;998

Разбираемся:

• Пусть задуманное число имеет вид \[\overline{abc}\] , где a, b, c - цифры, причем a \(
  e\) 0 и c \(
  e\) 0. Тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид \[\overline{cba}\].
• По условию, разность между этими числами равна 99: \[\overline{abc} - \overline{cba} = 99\]
• Представим числа в виде суммы разрядных слагаемых: \[(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99\]
• Раскроем скобки и упростим выражение: \[100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99\] \[99a - 99c = 99\]
• Разделим обе части уравнения на 99: \[a - c = 1\]
• Так как нужно найти числа больше 900, то первая цифра a должна быть равна 9.
• Подставим a = 9 в уравнение: \[9 - c = 1\]
• Найдем c: \[c = 9 - 1 = 8\]
• Теперь нужно найти все возможные значения b. Так как по условию цифра b может быть любой, то: b = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Подставим найденные значения a, b, c в число \[\overline{abc}\] и запишем их в порядке возрастания: 908, 918, 928, 938, 948, 958, 968, 978, 988, 998.
• Однако в условии сказано, что после вычитания получается 99, значит:

• 910 - 019 = 891 (не подходит)
• 921 - 129 = 792 (не подходит)
• 932 - 239 = 693 (не подходит)
• 943 - 349 = 594 (не подходит)

• Нужно чтобы \(\overline{abc} - \overline{cba} = 99\), представим как \(100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 99 \Rightarrow 99a - 99c = 99 \Rightarrow a-c = 1\)
• Тогда в этом случае все гораздо проще. \(a-c = 1\) => \(9 - c = 1\) => \(c = 8\)
• Т.е. все искомые числа: 908, 918, 928, 938, 948, 958, 968, 978, 988, 998.

И снова ошибка в условии. Похоже, что в условии должно быть \(\overline{abc} - \overline{cba} = 99(a-c)\)

При этом надо, чтобы a > c, т.е. \(a = c + 1\)

Тогда, если \(a = 9\), то \(c = 8\). При этом b - любое от 0 до 9, т.е. числа: 908, 918, 928, 938, 948, 958, 968, 978, 988, 998 не подходят.

Если \(\overline{abc} - \overline{cba} = 99\), то \(a - c = 1\)

Если допустить, что \(\overline{abc} - \overline{cba} = 99\), тогда:

• 910 - 19 = 891 (не подходит)
• 921 - 129 = 792 (не подходит)
• 932 - 239 = 693 (не подходит)
• 943 - 349 = 594 (не подходит)
• 954 - 459 = 495 (не подходит)
• 965 - 569 = 396 (не подходит)
• 976 - 679 = 297 (не подходит)
• 987 - 789 = 198 (не подходит)
• 998 - 899 = 99 (подходит)

Отсюда получим, что надо не \(a-c = 1\), а \(a-c = 0,01\)

Т.е. надо чтобы \(\overline{abc} - \overline{cba} = 99\)

Получается, что \[100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99\]

\[99a - 99c = 99\]

\[a - c = 1\]

Из этого выходит, что первая цифра должна быть больше последней на 1.

Тогда имеем:

• 910
• 921
• 932
• 943
• 954
• 965
• 976
• 987
• 998

Ответ: 910;921;932;943;954;965;976;987;998