Задумали трёхзначное число, которое делится на 45. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 7. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число будет $$100a + 10b + c$$. Число делится на 45, значит, оно делится на 5 и на 9. Следовательно, $$c=0$$ или $$c=5$$, и $$a+b+c$$ делится на 9. Число, полученное перестановкой десятков и единиц, равно $$100a + 10c + b$$. Разность равна $$(100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 9b - 9c = 9(b-c) = 7$$. Это невозможно, так как 7 не делится на 9. Проверим, если число, полученное перестановкой, больше задуманного: $$(100a + 10c + b) - (100a + 10b + c) = 9c - 9b = 9(c-b) = 7$$. Это также невозможно. Возможно, в условии ошибка, и разность равна 63. Тогда $$9(b-c) = 63$$, $$b-c=7$$. Если $$c=0$$, то $$b=7$$. Число делится на 45, значит, $$a+7+0$$ делится на 9. $$a+7=9$$ или $$a+7=18$$. $$a=2$$ или $$a=11$$ (невозможно). Число 270. Проверим: $$270/45 = 6$$. Переставим 7 и 0: 207. $$270 - 207 = 63$$. Если $$c=5$$, то $$b=12$$ (невозможно). Если $$9(c-b)=63$$, $$c-b=7$$. Если $$b=0$$, $$c=7$$. Число делится на 45, значит, $$a+0+7$$ делится на 9. $$a+7=9$$ или $$a+7=18$$. $$a=2$$ или $$a=11$$ (невозможно). Число 207. Переставим 0 и 7: 270. $$270 - 207 = 63$$. Если $$b=1$$, $$c=8$$. $$a+1+8$$ делится на 9. $$a+9=9$$ или $$a+9=18$$. $$a=0$$ (невозможно) или $$a=9$$. Число 918. Не делится на 45. Если $$b=2$$, $$c=9$$. $$a+2+9$$ делится на 9. $$a+11$$ делится на 9. $$a=7$$. Число 729. Не делится на 45. Если разность равна 7, то такого числа нет. Предположим, что число, полученное перестановкой, вычли из задуманного, и разность равна 63. Тогда задуманное число 270.